I bob. Funksiyalarni tekshirishga oid asosiy tushunchalar

Funksiya limiti. X ⊂R to’plam berilgan bo’lib, a nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda f funksiya aniqlangan bo’lsin. Modomiki, a nuqta X ning limitik nuqtasi ekan, X to’plamning nuqtalaridan a ga intiluvchi turli,

(x_n ∈ X x, _n ≠ a, n =1,2,3,..) ketma-ketliklar tuzish mumkin: lim x_n = a

n→∞

Ta’rif 1.11 (Heine). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga intiluvchi har qanday x_n (x_n ≠ a n, =1,2,3,...) ketma-ketlik olganimizda ham mos f x( _n) ketmaketlik hamma vaqt yagona b limitga intilsa, shu b ga f funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi. Funksiyani limiti lim f x( ) = b kabi belgilanadi.

x→a

Ta’rif 1.12. Agar ∀ >ε 0 son uchun shunday δ> 0son topilsaki, argument x ning 0 <| x − a |<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f x( ) −b|<ε tengsizlik bajarilsa, b son f funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi.

Ta’rif 1.13. Agar ∀ε> 0 son uchun shunday δ> 0 son topilsaki, argument x ning 0 <| x − a |<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f x( )|<ε f x( ) >ε, ( ( )f x >ε, f x( ) < −ε) bo’lsa, f funksiyaning a nuqtadagi limiti ∞

(+∞;-∞) deyiladi. Funksiyani limitiga berilgan bu ta’rif Koshi ta’rifi deyiladi.

Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar. X to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda f va g funksiyalar aniqlangan bo’lsin.

1. 
   Agar x→a da f va g funksiyalar limitga ega bo’lsa, f ± g funksiya ham limitga ega va
   

lim( ( )f x ± g x( )) = lim f x( ) ± limg x( )

x→a x→a x→a tenglik o’rinli.

2. 
   Agar x→a da f va g funksiyalar limitga ega bo’lsa, f ·g funksiya ham limitga ega va
   

lim( ( )f x ⋅ g x( )) = lim f x( )⋅lim g x( )

x→a x→a x→a tenglik o’rinli.

3. 
   Agar x→δ> 0 a da f va g funksiyalar limitga ega bo’lib, limg x( ) ≠ 0 bo’lsa, f ^(x) funksiya ham limitga ega va
   

x_→a g(x)

lim f x( ) = lim_x→a f x( )

_{x a→} g x( ) lim ( )g x

x→a

tenglik o’rinli.

Ta’rif 1.14. Agar ∀ε> 0 son uchun shundayδ> 0 son topilsaki, argument x ning 0 <| x'− a |<δ, 0 |< x''− a |<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x' va x'' qiymatlarida

| f x( '') − f x( ')|<ε

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.

Funksiya uzluksizligi. Funksiyaning uzluksizligi matematik analizning muhim tushunchalaridan biri bo’lib, u funksiya tushunchasi bilan bevosita bog’langan.

Funksiyani nuqtada uzluksizligi. X ⊂R to’plamda f aniqlangan bo’lib, a∈ X esa X to’plamning limitik nuqtasi bo’lsin. Ta’rif 1.15. Agar

lim f x( ) = f a( ) _x→a

bo’lsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Ta’rif 1.16 (Heine). Agar X ⊂Rto’plamning elementlaridan tuzilgan va a ga intiluvchi har qanday x_n ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos f x( _n) ketma-ketlik hamma vaqt f a( ) ga intilsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Ta’rif 1.17 (Koshi). Agar ∀ε> 0 son uchun shunday δ> 0 son topilsaki, funksiya argument x ning | x − a |<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

| f x( ) − f a( )|<ε

tengsizlik bajarilsa, ya’ni

∀ε> 0, ∃δ> 0, ∀ ∈x X _δ( ):a | f x( ) − f a( )|<ε bo’lsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Koshi ta’rifidagi | x − a |<δ va | f x( ) − f a( )|<ε tengsizliklar mos ravishda

x∈_δ( )a va f x( )∈_ε( ( ))f a

ko’rinishda ham yozish mumkin eknligini hisobga olsak, atrof tushunchasi

yordamida funksiyaning uzluksizligini quyidagicha ta’riflash mumkin. Ta’rif 1.18. Agar

∀ε> 0, ∃δ>0, x∈_δ( )a ∀: f x( )∈_ε( ( ))f a bo’lsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.

Funksiyaning uzilishi. Uzilishning turlari. f funksiya X ⊂R to’plamda aniqlangan bo’lib, a∈ X nuqtada X to’plam limit nuqtasi bo’lsin.

Ta’rif 1.19. Agar x → a da f funksiyaning limiti mavjud, chekli bolib, lim f x( ) = b ≠ f a( ) yoki lim f x( ) = ∞ (-∞;+∞) bo’lsa yoki funksiyaning limiti

x_→a x_→a mavjud bo’lmasa, f x( ) funksiya a nuqtada uzilishga ega

deyiladi.

Endi x → a da f funksiyaning limiti mavjud emas deylik. Bu holat, avvalo x

→ a da f funksiyaning o’ng va chap limiti mavjud va chekli bolib, f a( −0) = f a( + 0) bo’lganda ro’y beradi. Shu holda funksiya a nuqtada birinchi tur uzilishga ega deyiladi va f a( −0) = f a( + 0) ayirma funksiyaning a nuqtadagi sakrashi deyiladi.

x → a da f funksiyaning limiti mavjud bo’lmaydigan boshqa hamma hollarda funksiya a nuqtada ikkinchi tur uzilishga ega deyiladi. Endi x → a da

lim f (x) =∞ (-∞;+∞)

x→a

bo’lsin. Unda funksiyaning o’ng va chap limiti ham (-∞;+∞) bo’ladi. Bu holda f funksiya a nuqtada ikkinchi tur uzilishga ega deyiladi.

Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar. Uzluksiz funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatlarining uzluksizligi.

Tasdiq 1.1. Agar f va g funksiyalar X ⊂R to’plamda aniqlangan bo’lib, ularning har biri a∈ X nuqtada uzluksiz bo’lsa,

funksiyalar ham shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.