I L l bob. Alg ebr a ik sist em a L a r

Gomomorfizmlar va izoinorfizmlar. Qo*shimcha guruh 
(Z6,+) va multipiikativ guruh (Z7V ) orasida qanday farq bor? 
Avvalo, ularning ikkalasi ham siklik: (Z6,+)da 1 generator (aslida, 
[1]), va (Z7\-)d a 3generator ([3]) bor. Yagona farq kosmetik 
bo'lgani holda, bu ikkala guruhni 
algebraik bir xil deb atash
107

---

o‘rinli boMmaydimi? Haqiqatdan ham, istalgan 6-tartibli siklik 
guruh {e,x,x2,x3,x4,x5,x6} ko‘rinishga ega boMmaydimi?
Bu yerda bir muncha aniqroq namuna keltiramiz. (R,+) va 
(R+, ) cheklanmagan guruhlarni ko‘rib chiqaylik. Bir qaraganda 
bular har xii tuyuladi. Agar f(x)=ex (o‘ziga xos funksiya) orqali 
berilgan f:R—>R+ akslantirishni ko‘rib chiqsak, unda f faqatgina 
biyeksiya emas (In qarama-qarshi elementli), balki bu akslantirish 
ikkita binar operatsiyasini bir biriga moslashtiradi: 
f(x+y) = ex+ y = ex- ey = f (x) f (y).
E ’tibor beringki, g(x)=lnx qarama-qarshi akslantirish ham 
xuddi shunday vazifani bajaradi, faqat qarama-qarshi tartibda: 
g(x-y)=in(xy)= ln x+ln y=g(x)+g(y).
Yuqoridagi shuni bildiradiki, biz f akslantirish va uning 
qarama-qarshisi g orqali (R V ) guruh strukturasi (R V ) guruh 
strukturasi orqali ifodalanadi, ya’ni bu ikki guruh “ izo m o rf’dir. 
Biz bu tushunchani quyida shakllantiramiz.
Gomoraorfizm ta’rifi: (G, *) va (H, *) guruhlar hamda f: 
G—>H akslantirish boMsin. Agar hamma g,g' G G uchun 
f(g*g')=f(g) f(g') boMsa, unda biz f ni gomomorfizm deb ataymiz. 
Boshqacha qilib aytganda, g,g' G G elementlarining natijasini 
topishda avval 
G dagi g * g' 
natijasini hisoblab, so‘ng 
f ga
murojaat qilish yoki birinchi g va g' ga f ni qo‘yib, so‘ng H dagi 
f(g) f(gO natijasini hisoblashning farqi yocq.
Albatta, biz endi bilamizki, (R,+) dan (R+, )ga boMgan o‘ziga 
xos akslantirish gomomorfizmdir.