I. Qatorlar haqida tushunchalar 1 Sonli qatorlar

1.3.2-misol:
Ushbu
1.3.3-misol:

qatorlar darajali qatorlardir.
Koshi-Adamar teoremasi. Darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi sodda strukturaga ega bo'lar ekan yoki interval, yoki yarim interval, yoki segment. Hamma hollardaham bu soha yaqinlashish radiusi r orqali ifodalanadi.
Malumki, har qanday darajali qator
(1.3.2)
o'zining koefisentlari ketma-ketligi bilan aniqlanadi.
Binobarin, uning yaqinlashish radiusi ham shu koefisentlar ketma-ketligi orqali qandaydir topilishi kerak.Berilgan (1.3.2) darajali qator koefisentlari yordamida
(1.3.3)
sonlar ketma-ketligini tuzamiz. Malumki har qanday sonlar ketma-ketligining yuqori limiti mavjud. Demak (1.3.3) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega uni b bilan belgilaylik

1.3.1-teorema:(Koshi-Adamar)
Berilgan

darajali qatorning yaqinlashish radiusi
(1.3.4) bo'ladi.
Eslatma:
Yuqoridagi (1.3.4) formulada b=0 bo'lganda deb olinadi.
Teorema isboti (Koshi-Adamar):
(1.3.4) formulaning to'g'riligini ko'rsatishda quyidagi
1) (r=0)
2) b=0 ( )
3)
hollarni alohida-alohida qaraymiz.
1) bo'lsin. Bu holda ketma-ketlik chegaralanmagandir. Ixtiyoriy nuqtani olib bu nuqtada (1.3.2) darajali qatorning uzoqlashuvchi ekanini ko'rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylikn, yani shu nuqtada (1.3.2) darajali qator yaqinlashuvchi bo'lsin demak qator yaqinlashuvchi. Unda qator yaqinlashuvchanligining zaruriy shartiga asosan

bo'ladi.Demak, ketma-ketlik chegaralangan, ya'ni shunday o'zgarmas M son mavjudki (uni 1 dan katta qilib olish mumkun),
uchun

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikdan
,
ya'ni

bo'lishi kelib chiqadi. SHunday qilib ketma-ketlik chegaralangan bo'lib qoldi. Natijada ziddiyatlik yuzaga keldi. Ziddiyatlikning kelib chiqishiga sabab nuqtada (1.3.2) qatorning yaqinlashuvchi bo'lsin deb olinishidir. Demak (1.3.2) darajali qator ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi.
2) b=0 bo'lsin. Bu xolda ixtiyoriy , nuqtada (1.3.2) darajali qatorning yaqinlashuvchi bo'lishini ko;rsatamiz. Modomiki, ketma-ketlikning yuqori limiti nolga teng ekan, bundan uning limiti ham mavjud va nolga tengligi kelib chiqadi. Ta'rifga asosan son olinganda ham, jumladan ga ko'ra shunday topiladiki, barcha uchun

bo'ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo'lishi kelib chiqadi.
Ravshanki

qator yaqinlashuvchi. Taqqoslash teoremasiga ko'ra

qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak,

qator absolut yaqinlashuvchi.
3) bo'lsin. Bu xolda (1.3.2) darajali qator ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi, ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bo'lishini ko'rsatamiz.
bo'lsin. U xolda shunday soni topish mumkinki, bo'ladi. Endi sonni olaylik. Bu songa ko'ra shunday topiladiki , barcha uchun , ya'ni bo'ladi. Demak, barcha uchun
(1.3.5)
bo'lishi kelib chiqadi, bunda
,
Endi ushbu
(1.3.6)
qator bilan quyidagi
(1.3.7)
qatorni solishtiraylik. Bunda, birinchidan (1.3.7) qator yaqinlashuvchi , ikkinchidan n ning biror qiymatidan boshlab ( ) (1.3.5) munosabatga ko'ra (1.3.6) qatorning har bir hadi (1.3.7) qatorning mos hadidan katta emas. Unda qatorlar nazaryasida keltirilgan taqqoslash teoremasiga ko'ra (1.3.6) qator yaqinlashuvchi bo'ladi.
, bo'lsin. Unda shunday soni topish mumkinki,

bo'ladi. Endi sonni olaylik. Yuqori limitning xossasiga asosan ketma-ketlikning ushbu

tengsizlikni qanoatlantiradigan hadlarining soni cheksiz ko'p bo'ladi. Demak bu holda
(1.3.8)
bo'lib, bunda

bo'ladi.
Yuqoridagi (1.3.8) munosabatdan da ketma-ketlikning limiti nolga teng emasligini topamiz. Demak

qator uzoqlashuvchi (qator yaqinlashuvchanligining zaruriy sharti bajarilmaydi).
SHunday qilib har bir nuqtada (1.3.2) darajali qator yaqinlashuvchi, har bir nuqtada esa shu darajali qator uzoqlashuvchi bo'lar ekan.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusi ta'rifini etiborga olib, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ekanini topamiz. Teorema isbotlandi.