I. Qatorlar haqida tushunchalar 1 Sonli qatorlar

1.3.4-misol:
Ushbu

darajali qatorni qaraylik. Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusini
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yaqinlashish intervali esa dan iborat. Bu darajali qator yaqinlashish intervalining chekkalarida mos ravishda quyidagi
,
sonli qatorlarga aylanib, ularni Raabe alomatidan foydalanib yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
Demak,berilgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi segmentdan iborat.
Abel teoremasi. Funksional qatorlar orasida ularning xususiy holi bo'lgan ushbu
(1.3.9)
yoki umumiyroq
(1.3.10)
qatorlar matematikada va uning tadbiqlarida muxim rol o'ynaydi.Bu yerda sifatida

ya'ni x (yoki ) o'zgaruvchining darajalari qaralyapti.Shu sababli (1.3.9) va (1.3.10) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi.
Agar (1.3.10) qatorda deb olinsam, u holda bu qator t o'zgaruvchiga nisbatan (1.3.9) qator ko'rinishiga keladi. Demak (1.3.9) qatorni o'rganish kifoyadir.
(1.3.9) ifodadagi haqiqiy sonlar (1.3.9) darajali qatorning koefisentlari deb ataladi.
Darajali qatorning tuzilishidan, darajali qatorlar bir-biridan faqat koefisentlari bilan farq qilishini ko'ramiz.Demak darajali qator berilgan deganda uning koefisentlari berilgan deb tushinamiz.
Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi da berilgan funksiyadir. Binobarin, darajali qatorni, formal nuqtai nazardan, da qarash mumkin. Ammo, tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo'ladi deyaolmaymiz.
Albatta ixtiyoriy darajali qator x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish soxasi albatta x=0 nuqtani o'z ichiga oladi.
Darajali qatorning yaqinlashish soxasi strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslaniladi.
1.3.2-teorema(Abel ):
Agar
(1.3.9)
darajali qator x ning qiymatida yaqinlashuvchi bo'lsa, x ning
(1.3.11)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1.3.9) darajali qator absalyut yaqinlashuvchi bo'ladi.
Isboti:(Abel teoremasi) Shartga ko'ra

qator (sonli qator) yaqinlashuvchi. U holda qator yaqinlashuvchanligining zaruriy shartiga asosan

bo'ladi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan bo'ladi, yani shunday o'zgarmas M soni mavjudki, uchun

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikni etiborga olib quyidagini topamiz:

endi ushbu
(1.3.12)
qator bilan birga quyidagi
(1.3.13)
qatorni qaraylik.Bunda, birinchidan (1.3.13) qator yaqinlashuvchi, ikkinchidan (1.3.12) qatorning har bir hadi (1.3.12) qatorning mos hadidan katta emas. U holda (1.3.12) qator yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak, berilgan (1.3.9) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi. Teorema isbotlandi.
1.3.1-natija: Agar
(1.3.12)
darajali qator x ning qiymatida uzoqlashuvchi bo'lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo'ladi.
Isbot (Natija): Berilgan (1.3.12) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi bo'lsin. Unda bu qator x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida ham uzoqlashuvchi bo'ladi, chunki (1.3.9) qator x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror qiymatida yaqinlashuvchi bo'ladigan bo'lsa, unda Abel teoremasiga ko'ra bu qator nuqtada ham yaqinlashuvchi bo'lib qoladi. Bu esa (1.3.9) qatorning nuqtada uzoqlashuvchi deyilishiga ziddir. Natija isbotlandi.