Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

7-§. Ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish
funksiya sohada berilgan bo’lsin. Bu funk­siya­ning ikki karrali

integrali mavjudligi ma’lum bo’lib, uni hisoblash talab etilsin. Ravshanki, funksiya hamda soha murakkab bo’lsa, integralni hisoblash qiyin bo’ladi. Ko’pincha, va o’zgaruvchilarni, ma’lum qoidaga ko’ra boshqa o’zgaruvchilarga almashtirish natijasida integral ostidagi funksiya ham, integrallash sohasi ham soddalashib, ikki karrali integralni hisoblash osonlashadi.
Ushbu paragrafda ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish bilan shug’ullanamiz. Avvalo tekislikda sohani sohaga akslantirish, egri chiziqli koordinatalar hamda sohaning yuzini egri chiziqli koordinatalarda ifodalanishini keltiramiz.
Ikkita tekislik berilgan bo’lsin (57-chizma).

57-chizma.
Birinchi tekislikda to’g’ri burchakli koordinata sistemasini va chegaralangan sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi sodda, bo’lakli-silliq chiziqdan iborat bo’lsin. Ikkinchi tekislikda esa to’g’ri burchakli koordinata sistemasini va chegaralangan sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi ham sodda, bo’lakli-silliq chiziqdan iborat bo’lsin.
va lar sohada berilgan shunday funksiyalar bo’lsinki, ulardan tuzilgan sistema sohadagi nuqtani sohadagi nuqtaga akslantirsin:
,
.
va bu akslantirishning akslaridan iborat to’plam ga tegishli bo’lsin.
Demak, ushbu
(17.16)
sistema sohani sohada akslantiradi.
Bu akslantirish quyidagi shartlarni bajarsin:
1⁰. (17.16) akslantirish o’zaro bir qiymatli akslantirish, ya’ni sohaning turli nuqtalarini sohaning turli nuqtalariga akslantirib, sohadagi har bir nuqta uchun sohada unga mos keladigan nuqta bittagina bo’lsin.
Ravshanki, bu holda (17.16) sistema va larga nisbatan bir qiymatli echiladi: , va ushbu
(17.17)
sistema bilan akslantirish yuqoridagi akslantirishga teskari bo’lib, sohani sohaga akslantiradi. Demak,
(17.18)