Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

Misol: Umumiy 3х–4y+z–5=0 tenglamasi bilan berilgan tekislikning kesmalardagi tenglamasini toping.

Yechish: Umumiy tenglamani –D=5 soniga bo‘lib, (2) tenglamada
ekanligini topamiz. Bundan berilgan tekislikning kesmalardagi tenglamasi
ekanligi kelib chiqadi.

Tekislikning normal tenglamasi
Berilgan P tekislikka O koordinata boshidan o‘tkazilgan perpendikularning asosini N deb belgilaymiz. Bu perpendikular uzunligi |ON|=p (ya’ni koordinata boshidan P tekislikkacha bo‘lgan masofa) va uning OX,OY,OZ koordinata o‘qlari bilan mos ravishda hosil etgan α, β, γ burchaklar ma’lum deb olamiz. Tekislikning ON perpendikularda joylashgan va O nuqtadan N nuqtaga qarab yo‘nalgan normal birlik vektorini n deb belgilaymiz. Bunda uning koordinatalari n=(cosα, cosβ, cosγ) bo‘ladi. P tekislikda yotuvchi ixtiyoriy M(x,y,z) nuqtani olsak, uning radius vektori OM=r=(x,y,z) bo‘ladi. Endi n·r skalyar ko‘paytmani ikki usulda hisoblaymiz. Agar bu vektorlar orasidagi burchakni φ deb olsak, unda skalyar ko‘paytmaning ta’rifiga asosan (quyidagi 36-rasmga qarang)


n·r=|n|·|r|·cosφ=1·|r|·cosφ=|r|·(|ON|/|r|)=|ON|= p
tenglikka ega bo‘lamiz.
Ikkinchi tomondan, skalyar ko‘paytmaning koordinatalardagi ifodasiga asosan,


n·r = xcosα+ycosβ+zcosγ
tenglikni hosil etamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki P tekislikdagi har bir M(x,y,z) nuqtaning koordinatalari


xcosα+ycosβ+zcosγ=p  xcosα+ycosβ+zcosγ–p=0 (3)
tenglamani qanoatlantiradi va aksincha, (3) tenglamani qanoatlantiruvchi har bir M(x,y,z) nuqta P tekislikka tegishli bo‘ladi.


5-TA‘RIF: (3) tenglama tekislikning normal tenglamasi deyiladi.
Endi (1) umumiy tenglamasi bilan berilgan tekislikning normal tenglamasini topish masalasini ko‘ramiz. Buning uchun dastlab quyidagi lemmani isbotlaymiz.


LEMMA: Agar ikkita А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 va А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 tenglamalar bitta P tekislikni ifodalasa, unda ularning mos koeffitsiyentlari va ozod hadlari proporsional bo‘ladi , ya’ni
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.