Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

Isbot: Bu tenglamalardan n₁=(А₁,В₁,С₁) va n₂=(А₂,В₂,С₂) normal vektorlarni hosil etamiz. Ularning ikkalasi ham P tekislikka perpendikular va shu sababli kollinear vektorlar bo‘ladilar. Unda, vektorlarning kollinearlik shartiga asosan,
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bunda μ proporsionallik koeffitsiyentini ifodalaydi. Bu holda
bo‘lgani uchun, yuqoridagi tenglamalardan ikkinchisini μ soniga ko‘paytirib va birinchisidan hadma-had ayirib
ekanligini ko‘ramiz. Bu nisbatni yuqoridagi nisbatlar bilan solishtirib, lemmadagi tasdiqni to‘g‘riligiga ishonch hosil etamiz.
Bu lemmaga asosan P tekislikning (1) umumiy va (3) normal tenglamalaridan
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslar xossasidan foydalanib, μ proporsionallik koeffitsiyentini topamiz:
Bu yerdan
.
ekanligini topamiz. Bunda μ normallashtiruvchi ko‘paytuvchi deb ataladi va uning ishorasi p=(–D/ μ)≥0 shartdan aniqlanib, D ozod had ishorasiga qarama-qarshi qilib olinadi.
Shunday qilib tekislikning (1) umumiy tenglamasidan (3) normal tenglamasiga o‘tish uchun uni
soniga ko‘paytirish kerak.


Misol: Tekislikning 2х–у+2z–5=0 umumiy tenglamasidan normal tenglamasiga o‘ting.

Yechish: Normallashtiruvchi μ ko‘paytuvchini topamiz va berilgan umumiy tenglamani unga ko‘paytirib, normal tenglamani topamiz:

.
Bunda ozod had D=–5<0 bo‘lgani uchun μ ishorasi musbat qilib olindi va normal tenglamada

bo‘ladi.

FAZODAGI TO‘GRI CHIZIQ TЕNGLAMALARI

• 
  
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi.
  
• 
  
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi.
  
• 
  
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.
  

Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi
Fazodagi L to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish uchun unga parallel bo‘lgan biror a =(m, n, p) vеktor shu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi biror М₀(х₀, у_0, z₀) nuqta ma’lum deb olamiz. Bunda a berilgan L to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vеktori, M₀ esa boshlang‘ich nuqtasi deyiladi.
M(x, y, z) berilgan L to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy bir nuqtasi bo‘lsin. Bu va M₀ nuqtalarni tutashtirib,

r=
vеktorni hosil qilamiz (38-rasmga qarang).
Agar M(x, y, z) nuqta berilgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa va faqat shu holda r bilan a yo‘naltiruvchi vеktor kollinear bo‘ladi. Bundan va vektorlarning kollinearlik shartidan (III bob, §3, (6) formulaga qarang) foydalanib, L to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi

(1)
tenglamaga ega bo‘lamiz.

1-TA’RIF: (1) fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasidagi kasrlarning maxrajlaridagi m,n va p sonlari yo‘naltiruvchi a vеktorning koordinatalari, suratlardagi х₀,у₀ va z₀ sonlari esa boshlang‘ich M₀ nuqtaning koordinatalari ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.