Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

у=0   х² = а²  х = а.
Bu yerdan gipеrbola OX o‘qini ikkita А₁(–а,0) vа А₂(а,0) nuqtalarda kesib o‘tishini ko‘ramiz. Bu nuqtalar giperbolaning uchlari , ular orasidagi |А₁А₂|=2a masofa giperbolaning haqiqiy o‘qi deyiladi.

Agar х=0 dеsak, u holda (1) tenglamadan у²= b²  у natijaga kelamiz. Bundan giperbola OY o‘qi bilan kesishmasligi kelib chiqadi. Shu sababli (1) kanonik tenglama orqali aniqlanadigan В₁(0,–b) va В₂(0, b) nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, ular orasidagi |B₁B₂|=2b masofa esa giperbolaning mavhum o‘qi dеb ataladi. Mos ravishda a va b sonlariga giperbolaning yarim haqiqiy va yarim mavhum o‘qlari deyiladi. Giperbolaning o‘qlari kesishadigan nuqta uning markazi dеb yuritiladi.

• Giperbolaning (1) kanonik tenglamasidan yana quyidagi natijalarni olamiz:

  
  

Bu yerdan giperbola x=–a va x=a tenglamali vertikal to‘g‘ri chiziqlardan mos ravishda chap va o‘ng tomonda joylashgan ikkita bo‘lakdan iborat chegaralanmagan chiziq ekanligini ko‘ramiz. Bu bo‘laklar giperbolaning tarmoqlari deb ataladi.

• Giperbola tenglamasini quyidagi ko‘rinishda qaraymiz:

  
  

Bu tenglamadan ikkita xulosa kelib chiqadi. Birinchidan, |x| o‘zining eng kichik qiymati a dan boshlab cheksiz oshib borsa, unda |y| qiymatlari 0 dan boshlab cheksiz oshib boradi. Ikkinchidan, |x| oshib borgan sari

.
Demak, |x| oshib borgan sari giperbolaning shoxlari tobora

(2)
tenglamaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarga yaqinlashib boradi. Bu to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deb ataladi.

Izoh: Asimptota tushunchasining aniq ta’rifi keyinchalik VIII bobning, §5, IV qismida beriladi.
Bu ma’lumotlar asosida giperbola shaklini dastlab koordinatalar tekisligining I choragida (x≥0, y≥0), so‘ngra esa uning simmetrikligidan foydalanib, qolgan choraklarda aniqlaymiz. Natijada giperbolani va uning ikkita asimptotasini ifodalovchi quyidagi 30-rasmni hosil etamiz:

2. 
   
   Giperbolaning xarakteristikalari
   

Endi giperbolaning xususiyatlarini ifodalovchi ayrim xarakteristikalar bilan tanishamiz.

3-TA’RIF: Giperbolani fokuslari orasidagi 2c masofani uning haqiqiy o‘qi uzunligi 2a ga nisbati giperbolaning ekssеntrisitеti deyiladi.
Giperbolaning ekssеntrisitеti  kabi belgilanadi va uning ta’rifi hamda (1) kanonik tenglamaga asosan quyidagi formula bilan hisoblanadi:

. (3)
Bu formuladan ko‘rinadiki, giperbolaning ekssеntrisitеti >1 bo‘ladi va uning tarmoqlarini shaklini aniqlashtiradi. Agar  qiymati birga qanchalik yaqin bo‘lsa, giperbolaning tarmoqlari OX o‘qiga qarab shunchalik siqiq,  qiymati oshib borgan sari esa shunchalik yoyiq bo‘ladi.

4-TA’RIF: Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan uning F₁ va F₂ fokuslarigacha bo‘lgan masofalar shu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi.
Bu fokal radiuslar r₁=|MF₁| va r₂=|MF₂| kabi belgilanadi. Ellipsning fokal radiuslarini topish uchun bajarilgan ishlarni takrorlab, giperbolaning fokal radiuslari uchun ushbu formulalarni hosil etamiz:


r₁= ±(a+x), r₂=±(a–x) (4)
Bunda giperbolaning O koordinata boshidan o‘ng tomonda joylashgan tarmog‘i uchun “+”, chap tomondagi tarmog‘i uchun esa “–” ishorasi olinadi.


5-TA’RIF: Tenglamalari x=а/ bo‘lgan ikkita l₁ va l₂ vertikal to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning dirеktrisalari dеb ataladi.
Giperbolada ektsеntrisitеt >1 bo‘lgani uchun а/<а. Demak, giperbolaning dirеktrisalari uning O markaz bilan A₁ va A₂ uchlari orasida joylashgan bo‘ladi.


TЕORЕMA: Giperboladagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtaning r₁ va r₂ fokal
radiuslarining shu nuqtadan mos l₁ va l₂ dirеktrisalarigacha bo‘lgan d₁ va d₂ masofalarga nisbati o‘zgarmas bo‘lib, bu nisbat ektsеntrisitеtga tеng bo‘ladi, ya’ni

.
Tеorеmani isboti ellips uchun ko‘rilgan usulda amalga oshiriladi va o‘quvchiga havola qilinadi.

Endi (1) kanonik tenglamada а=b bo‘lgan holni alohida ko‘rib chiqamiz.Bu holda giperbola tеng yonli deyiladi. Teng yonli giperbolaning asimptotalari qiх tenglama bilan aniqlanib, koordinata burchaklarining bissektrisalaridan iborat va o‘zaro perpendikular bo‘ladi. Bu asimptotalarni OX^* va OY^* koordinata o‘qlari sifatida olsak, unda bu yangi koordinatalar sistemasida giperbolaning tenglamasi bizga maktabdan tanish bo‘lgan х^*у^*=k  у^*=k/x^* (k≠0) ko‘rinishga kеladi. Bunda k>0 bo‘lsa giperbola tarmoqlari koordinata tekisligining I va III choraklarida, k<0 holda esa II va IV choraklarda joylashgan bo‘ladi.
Iqtisodiy masalalarni qarashda kasr – chiziqli deb ataladigan va

(5)
ko‘rinishda bo‘lgan tenglama ko‘p uchraydi. Masalan, iqtisodchi olim Tornkvist odamlarning daromadlari x va turli tovarlarga bo‘lgan talablari y orasidagi bog‘lanishning matematik modelini kasr – chiziqli tenglama ko‘rinishda qarash kerakligini asoslab bergan (VI bob, §3 ga qarang). Bu model x daromad oshib borishi bilan y talab ham dastlab oshib borishi, ammo borgan sari bu o‘sish sekinlashib, ma’lum bir chegaradan ortiq bo‘la olmasligini akslantiradi.

Agar ko‘rsatilgan kasr – chiziqli tenglamada yangi
koordinatalarga o‘tsak va k=(bc – ad)/c² belgilash kiritsak, unda (5) у^*=k/x^* ko‘rinishga kelishini tekshirib ko‘rish mumkin. Demak, (5) kasr – chiziqli tenglama teng yonli giperbolani ifodalaydi. Bu teng yonli giperbolaning asimptotalari x=–d/c vertikal va y=a/c gorizontal to‘g‘ri chiziqlardan iborat, markazi esa M(–d/c, a/c) nuqtada joylashgan bo‘ladi.


Misol: Quyidagi kanonik tenglamasi bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping:

.
Bu giperbolaning abssissasi x=8, ordinatasi y>0 bo‘lgan M nuqtasining fokal radiuslarini aniqlang.