İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

9) Çoxbucaqlının məlum (2n – 3) elementinə görə digər bütün elementləri aşağıdakı üç tənliklər sisteminə görə tapılır.



Isbatı:

Tutaq ki, A₁A₂...A_nn-bucaqlısının bucaqları a₁, a₂,.....,a_n tərəfləriA₁A₂ = a₁, A₂A₃ =

= a₂, .......A_n-1A_n = a_n-1, A_nA₁ = a_n-dir. Fərz edək ki, bu çoxbucaqlının 2n – 3 elementi veril­­mişdir və məchul elementlər a_n = A_nA₁, a₁ və a_n–dir. Bu elementləri təyin etmək üçün üç tənliklər sistemi məlum olmalıdır. Bunlardan biri çoxbucaqlının bucaqları ara­sın­dakı məlum a₁ + a₂ + a₃ +....+ a_n = 180º (n – 2) (1) aslılığıdır. Çoxbucaqlının xətti ele­mentləri arasındakı aslılıqları tapmaq üçün çoxbucaqlının tərəflərinin qarşılıqlı per­pen­­­dikulyar oxlar üzərindəki proyeksiyalarını tapaq. Müstəvi üzərində düzbucaqlı koor­di­­nat sistemi götürək və OX oxunun müsbət istiqamətini vektoru istiqamə­tində yönəl­dək. Məlumdur ki, sınıq xəttin tərəflərinin proyeksiyaları cəmi onu qapıyan vekto­­run proyeksiyasına bərabərdir. Məlumdur ki, tərəfin proyeksiyası bu tərəfin uzun­luğu ilə onun OX oxu ilə əmələ gətirdiyi bucağın kosinusu hasilinə bərabərdir.

Onda

Bu ifadəni almaq üçün:

və s. nəzərə alınmışdır. Sınıq xəttin Y oxu üzərinə proyektləndirək. Onda

Bu ifadəni almaq üçün:

və s. nəzərə alınmışdır.

Beləliklə biz n-bucaqlının əsas arasındakı aslılığı ifadə edən (1), (2) və (3) tənliklər sistemini aldıq. Bu tənliklə n-bucaqlının (2n –3) aslı olmayan elementinə görə çox­bu-ca­q­­­lının ixtiyari üç elementini tapmağa imkan verir. Xüsusi halda n = 3 olduqda

- ün tərəf və bucaqları arasındakı aslılıqlar alınır. Həqiqətən də n=3 olduqda (1) -dən

a₁ + a₂ + a₃ = 180º,

(2) -dən

alırıq.

(3) -dən

alınır. Bu ifadələr üçbucağın üç aslı olmayan elementinə görə digər üç elementini tap­ma­­ğa imkan verir.