İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Teorem

Düzgün çoxbucaqlının hər hansı tərəfinin ortasından keçən, xaricə çəkilmiş çevrə diametri bu çoxbucaqlının simmetriya oxudur.

Isbatı:

Əgər çoxbucaqlının tərəfləri sayı tək olarsa, onun hər hansı təpə nöqtəsindən keçən xaricə çəkilmiş çevrə diametri qarşı tərəfin ortasından keçən diametr qarşı təpə nöq­tə­sindən keçəcək. Hər iki halda diametr təpə nöqtəsindən keçir. Bu hallar yuxarıda nəzərdən keçirilmişdir. Tutaq ki, çoxbucaqlının tərəfləri cüt saydadır. Onda onun hər hansı tərəfinin ortasından keçən xaricə çəkilmiş çevrə diametri qarşı tərəfin də ortsından keçəcək. Bu halı ayrıda nəzərdən keçirək. Tutaq ki, çevrə daxilinə ABCDE... çoxbucaqlısı çəkilmişdir. CD tərəfinin ortasından MN diametrini keçirək . Məlumdur ki, çevrə mərkəzini vətərin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçası vətərə perpendikulyardır, yəni . MN diametri ilə eyni bucaq əmələ gətirən nöqtələri cüt-cüt birləşdirək (BE, AF,...). Tutaq ki, BK parçası diametri K nöqtəsində kəsir. Əgər B və E nöqtələrini O nöqtəsi ilə birləşdirsək -də OK tənbölən olar (qurmaya əsasən). Bərabəryanlı üçbucaqda tənbölən həm median və hündürlük olduğu üçün olar. Lakin olduğundan BE//CD, yəni BCDE bərabəryanlı trapesiyadır və MN dia­metri oturacağın orta perpendikulyarıdır. Uyğun qayda ilə göstərmək olar ki, bu diametr bütün mümkün olan sayda bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqlarının orta perpen­di­ku­lyarıdır, yəni MN düzgün çoxbucaqlının simmetriya oxudur.

Nəticə:

Ixtiyari düzgün n-bucaqlıda tərəflərin sayı qədər simmetriya oxu vardır. Tərəflərin sayı cüt, yəni n = 2k olduqda K sayda simmetriya oxu təpə nöqtələrindən və K sayda OX qarşı tərəflərin ortasından keçir. Tərəflərin sayı tək olduqda, simmetriya oxlarının hər biri həm təpə nöqtəsindən, həm də qarşı tərəfin ortasından keçir.