İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Isbatı:

a) Tutaq ki, A₁A₂...A_n düzgünn-bucaqlıdır. -də A₁A₂ tərəfinə OM apofemi çəkin. Onda A₁M = MA₂ = ,OA₁ = R, OM = r olar. Düzbucaqlı -də

və

Digər tərəfdən düzbucaqlı -də



b) Düzbucaqlı -də



Teorem

Tərəfi a_n xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu rolan düzgün n-bucaqlının perimetri və sahəsi aşağıdakı münasibətlərdən tapılır.

1.

2.

Isbatı:

a) Düzgün çoxbucaqlının perimetri onun tərəfləri cəminə bərabər olduğundanP=na_n. Burada a_n = 2Rsin olduğunu nəzərə alsaq P = 2 Rn sin , a_n = 2r ∙ tg olduğunu nəzərə alsaq P = 2 r ∙ n ∙tg olar.

b) Düzbucaqlı -in sahəsi üçün OM ∙ A₁A₂ yazmaq olar. A₁A₂ = = a_n, OM=r olduğunu nəzərə alsaq a_nr olar. Onda S = n . Son ifadədə r = ctg nəzərə alsaq






Digər tərəfdən

düsturunu almaq olar.

Xüsusi hallar

Düzgün n-bucaqlı üçün alınmış

düsturlardan istifadə edərək n-in müxtəlif qiymətlərində düzgün çoxbucaqlıların bəzi elementlərini hesablamaq olar.

a) Bərabərtərəfli üçbucaq

n = 3 olduqda



b) Kvadrat



c) Düzgün beçbucaqlın = 5 olduqda

Bu düsturlardan istifadə etmək üçün sin 36º və ctg36º triqonometrik funksiyalarının qiymətlərini hesablamaq lazımdır. Aşağıdakı üsulları nəzərdən keçirək.

1-ci üsul.

Digər tərəfdən

və

düsturlarından istifadə etsək

kub tənliyini alarıq. Burada y = sin 18º (0 <y< 1) əvəzləməsi aparsaq 4y³ – 2y² – 3y + + 1 = 0 olar.

y = 1 kökü tənliyin həlli olduğundan (4 – 2 – 3 + 1 = 0) tənliyin sağ tərəfini aşağıdakı şəkildə vuruqlara ayırmaq olar: 4y² – 2y² – 3y + 1 = (y – 1)(4y² + 2y – 1). Onda

Lakin 0 <y< 1olduğundany = . Deməli sin18º = . Sadə çevirmələr apar­saq

2-ci üsul.

sin 18º-ni hesablamaq üçün yan tərəfi 1 vahidə, təpə bucağı 36º olan bərabəryanlı üçbucaq götürək. Bu üçbucaq vahid dairə daxilinə çəkilmiş düzgün önbucaqlının tərəfinin radiuslarla əmələ gətirdiyi üçbucaqdır.

Oturacağa bitişik bucağın tənbölənini çəkək. Onda (iki bucağına görə) və . Tutaq ki, AD = x, onda AD tənböləni -ni iki bərabəryanlı üç­bu­­cağa ayırdığı üçün OD =AD = AB= x, BD = OB – OD = 1 – x. Bu ifadələri təna­süb­­də nəzərə alsaq

x> 0 olduğundanx = olar. Onda sin 18º = = . sin 36º və ctg 36º 1-ci üsulda olduğu kimi tapılır.

sin 36º və ctg 36º üçün aldığımız ifadələri düzgün beşbucaqlı üçün əldə etdiyimiz düsturlarda nəzərə alsaq

olar.

Düzgün altıbucaqlın = 6 olduqda

olar.

Düzgün n-bucaqlının tərəfləri sayının iki dəfə artırıllması

Radiusu R olan çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün n və 2n-bucaqlıların tərəfləri olan a_n və a_2n arasında aşağıdakı aslılıq vardır:

Isbatı:

Tutaq ki, A₁A₂ = a_n, və B nöqtəsi A₁A₂qövsünü yarıya bölür. Onda A₁B çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün 2n-bucaqlının tərəfi olacaq, yəni A₁B = a_2n. Düzbucaqlı -dən Pifaqor teoreminə əsasən

Analoji olaraq -dən

Son iki ifadəni R = OM + MB bərabərliyində nəzərə alsaq

olar. Sadə çevirmələrdən sonra bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldib a_2n-ə görə həll etsək

alınar. Bu düsturdan istifadə edərək a₆ , a₈ , a₁₂ üçün aşağıdakı ifadələri almaq olar.

ifadəsində olduğunu nəzərə alsaq

Uyğun qayda ilə

Burada ifadəsini nəzərə alsaq

olar. Analoji olaraq

almaq olar. Triqonometrik üsullardan istifadə etməklə daha asand yolla a_2n və a_nara­sın­­­da aslılıq yaratmaq olar. Həqiqətən də -də a_n = 2Rsin . Uyğun qayda ilə -də a_2n= 2R sin . Onda

və ya

olar. Xüsusi halları nəzərdən keçirək.

Sonuncu ifadə və

olduğunu nəzərə alsaq sadə çevirmələrdən sonra olar. Uyğun qayda ilə .Burada a₆ = R, ifadələrini nəzərə alsaq

R olar.

Teorem

Çevrə daxilinə çəkilmiş müxtəlif n-bucaqlılardan perimetri böyük olanı daxilə çəkil­miş düzgün n-bucaqlıdır. Bu teoremi isbat etmək üçün köməkçi lemmadan istifadə edək.

Lemma

Bucağı və qarşı tərəfi bərabər olan iki müxtəlif üçbucaqdan sahəsi böyük olanın perimetri də böyükdür.