İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009



Yüklə 170,34 Kb.
səhifə12/34
tarix02.01.2022
ölçüsü170,34 Kb.
#39384
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   34
HndsoxbucaqllarTeoremlrinisbat

Isbatı:

a) Tutaq ki, A1A2...An düzgünn-bucaqlıdır. -də A1A2 tərəfinə OM apofemi çəkin. Onda A1M = MA2 = ,OA1 = R, OM = r olar. Düzbucaqlı -də



Digər tərəfdən düzbucaqlı -də



b) Düzbucaqlı -də



Teorem

Tərəfi an xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu rolan düzgün n-bucaqlının perimetri və sahəsi aşağıdakı münasibətlərdən tapılır.

1.

2.



Isbatı:

a) Düzgün çoxbucaqlının perimetri onun tərəfləri cəminə bərabər olduğundanP=nan. Burada an = 2Rsin olduğunu nəzərə alsaq P = 2 Rn sin , an = 2rtg olduğunu nəzərə alsaq P = 2 rntg olar.

b) Düzbucaqlı -in sahəsi üçün OMA1A2 yazmaq olar. A1A2 = = an, OM=r olduğunu nəzərə alsaq anr olar. Onda S = n . Son ifadədə r = ctg nəzərə alsaq






Digər tərəfdən

düsturunu almaq olar.



Xüsusi hallar

Düzgün n-bucaqlı üçün alınmış



düsturlardan istifadə edərək n-in müxtəlif qiymətlərində düzgün çoxbucaqlıların bəzi elementlərini hesablamaq olar.



a) Bərabərtərəfli üçbucaq

n = 3 olduqda



b) Kvadrat



c) Düzgün beçbucaqlın = 5 olduqda

Bu düsturlardan istifadə etmək üçün sin 36º və ctg36º triqonometrik funksiyalarının qiymətlərini hesablamaq lazımdır. Aşağıdakı üsulları nəzərdən keçirək.



1-ci üsul.

Digər tərəfdən





düsturlarından istifadə etsək



kub tənliyini alarıq. Burada y = sin 18º (0 <y< 1) əvəzləməsi aparsaq 4y3 – 2y2 – 3y + + 1 = 0 olar.



y = 1 kökü tənliyin həlli olduğundan (4 – 2 – 3 + 1 = 0) tənliyin sağ tərəfini aşağıdakı şəkildə vuruqlara ayırmaq olar: 4y2 – 2y2 – 3y + 1 = (y – 1)(4y2 + 2y – 1). Onda

Lakin 0 <y< 1olduğundany = . Deməli sin18º = . Sadə çevirmələr apar­saq







2-ci üsul.

sin 18º-ni hesablamaq üçün yan tərəfi 1 vahidə, təpə bucağı 36º olan bərabəryanlı üçbucaq götürək. Bu üçbucaq vahid dairə daxilinə çəkilmiş düzgün önbucaqlının tərəfinin radiuslarla əmələ gətirdiyi üçbucaqdır.

Oturacağa bitişik bucağın tənbölənini çəkək. Onda (iki bucağına görə) və . Tutaq ki, AD = x, onda AD tənböləni -ni iki bərabəryanlı üç­bu­­cağa ayırdığı üçün OD =AD = AB= x, BD = OB – OD = 1 – x. Bu ifadələri təna­süb­­də nəzərə alsaq





x> 0 olduğundanx = olar. Onda sin 18º = = . sin 36º və ctg 36º 1-ci üsulda olduğu kimi tapılır.

sin 36º və ctg 36º üçün aldığımız ifadələri düzgün beşbucaqlı üçün əldə etdiyimiz düsturlarda nəzərə alsaq

olar.


Düzgün altıbucaqlın = 6 olduqda

olar.


Düzgün n-bucaqlının tərəfləri sayının iki dəfə artırıllması

Radiusu R olan çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün n və 2n-bucaqlıların tərəfləri olan an a2n arasında aşağıdakı aslılıq vardır:





Isbatı:

Tutaq ki, A1A2 = an, və B nöqtəsi A1A2qövsünü yarıya bölür. Onda A1B çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün 2n-bucaqlının tərəfi olacaq, yəni A1B = a2n. Düzbucaqlı -dən Pifaqor teoreminə əsasən



Analoji olaraq -dən



Son iki ifadəni R = OM + MB bərabərliyində nəzərə alsaq



olar. Sadə çevirmələrdən sonra bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldib a2n-ə görə həll etsək



alınar. Bu düsturdan istifadə edərək a6 , a8 , a12 üçün aşağıdakı ifadələri almaq olar.



ifadəsində olduğunu nəzərə alsaq



Uyğun qayda ilə



Burada ifadəsini nəzərə alsaq



olar. Analoji olaraq



almaq olar. Triqonometrik üsullardan istifadə etməklə daha asand yolla a2nanara­sın­­­da aslılıq yaratmaq olar. Həqiqətən də -də an = 2Rsin . Uyğun qayda ilə -də a2n= 2R sin . Onda



və ya


olar. Xüsusi halları nəzərdən keçirək.



Sonuncu ifadə və



olduğunu nəzərə alsaq sadə çevirmələrdən sonra olar. Uyğun qayda ilə .Burada a6 = R, ifadələrini nəzərə alsaq



R olar.

Teorem

Çevrə daxilinə çəkilmiş müxtəlif n-bucaqlılardan perimetri böyük olanı daxilə çəkil­miş düzgün n-bucaqlıdır. Bu teoremi isbat etmək üçün köməkçi lemmadan istifadə edək.



Lemma

Bucağı və qarşı tərəfi bərabər olan iki müxtəlif üçbucaqdan sahəsi böyük olanın perimetri də böyükdür.




Yüklə 170,34 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   34




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin