İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Lemmanın isbatı:

Tutaq ki, tərəfi a, qarşıdakı bucağı αolan verilmişdir. Üçbucağın yan tərəf­ləri b, c sahəsi S olsun. Kosinuslar teoremindən istifadə edək:

Sadə çevirmələr apasaq:

.

Burada

ifadələrini nəzərə alsaq

Üçbucağın perimetri üçün

alınar.

Sonuncu ifadədən görünür ki, sahənin artması ilə üçbucağın verilmiş şərtlər daxilində perimetri də artır.

Teoremin isbatı:

Tutaq ki, çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün olmayan n-bucaqlı verilmişdir. Həmin çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün n-bucaqlının tərəfi a_n olsun. Aydındır ki, düzgün olma­yan n-bucaqlının tərəflərindən bəziləri a_n-dən böyük, bəziləri isə kiçik olacaq. (bütün tərəflər eyni zamanda a_n-dən böyük və ya a_n-dən kiçik ola bilməz). Daxilə çəkil­miş n-bucaqlının perimetrini dəyişmədən ixtiyari iki tərəfinin yerini dəyişmək mümkün olduğundan cüt-cüt götürməklə tərəflərin yerini elə dəyişək ki, iki qonşu tərəflərdən biri, məsələn AB > a_n digəri məsələn BC < a_n olsun. Üzərində B nöqtəsi olan AC qövsü üzərində M nöqtəsini elə götürək ki, AM =a_nolsun.Həqiqətən də BB₁//AC çəksək AM =a_n radiuslu çevrə BB₁ qövsünü hər hansı M nöqtəsində kəsəcək. Eyni otura­cağı olan iki üçbucaqdan hündürlüyü böyük olanın sahəsi böyük olduğundan . Digər tərəfdən eyni qövslərə söykəndikləri üçün . On­­­da lemmaya əsasən . Lakin A, B, C nöqtələri daxilə çəkilmişn-bu­caq­­­­lının qonşu təpələri olduğu üçün yeni alınmış çoxbucaqlının M nöqtəsindən başqa bütün təpə nöqtələri verilmiş n-bucaqlı ilə üst-üstə düşür. Beləliklə biz bir tərəfi düzgün n-bucaqlının a_n tərəfinə bərabər olan və perimetri verilmiş n-bucaqlının perimetrindən böyük olan yeni n-bucaqlı alınana qədər davam etsək, çoxu (n – 1)addımdan sonra perimetri verilmiş düzgün olmayan n-bucaqlının perimetrindən böyük düzgün çoxbucaqlı alarıq.