İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Teorem

∆ABC -də O-xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. DB -toxunan olarsa,

.

İsbatı:

Məlumdur ki, . Onda

Teorem

∆ABC-nin xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, mərkəz üçbucağın (∆A₁B₁C₁) yarım­perimetri P_H olarsa, onda S = RP_H.

Isbatı:

∆ABC-nin sahəsi AB₁OC₁, BC₁OA₁, CA₁OB₁dördbucaqlılarının sahələri cəminə bə­ra­­bərdir. Məlumdur ki, bu dördbucaqlılardan hər birinin bir diaqonalı radius olub, həmin dördbucaqlının ortomərkəz üçbucağın tərəfi digər diaqonalına perpendikulyardır. Diaqonalları perpendikulyar olan dördbucaqlı sahəsinin onun diaqonalları hasilinin yarısına bərabər olduğunu nəzərə alsaq:

Burada P_H-ortomərkəz üçbucağın yarımperimetridir.

2 -ci üsul.

Məlumdur ki, ∆ABC-nin sahəsini S_∆ABC = 2R² sin α sin β sin γ düsturu ilə tapmaq olar. Burada

olduğunu nəzərə alsaq:

Son ifadədə a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ, c = 2Rsin γ olduğunu nəzərə alsaq

Burada B₁C₁= a cos α, A₁C₁=b cos β, A₁B₁= c cos γolduğundan

Burada P_Hortomərkəz üçbucağın yarımperimetridir.

Teorem

Itibucaqlı -nin məlum sahəsinə görə ortomərkəz üçbucağının sahəsi aşağıdakı münasibətdən tapılır. S_H = 2S cosα ∙ cosβ ∙ cosγ.

Isbatı:

Tutaq ki, ortomərkəz üçbucağın tərəfləri a₁, b₁, c₁-dir. Məlumdur ki, a₁= a cos α,

b₁=b cos β, c₁= c cos γ

Burada γ₁ = 180 – 2γ olduğundan γ₁ = sin (180 – 2γ) = sin 2γ. Onda

Teorem

Ortomərkəz üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu aşağıdakı münasibətdən tapılır.

Isbatı:

Burada S = 2R² sin α sin β sin γ olduğunu nəzərə alsaq r_H = 2R cosα ∙ cosβ ∙ cosγ olar.

Teorem

Ixtiyari üçbucağın daxilinə çəkilmiş üçbucaqlardan ən kiçik perimetri olanı, ortomərkəz üçbucaqdır.

Isbat uzun olduğuna görə vermirik.

Tutaq ki, -nin hündürlükləri H nöqtəsində kəsişirlər. A, B, C, Hnöqtələrindən hər biri digər üç nöqtəni əmələ gətirdiyi üçbucağın ortomərkəzidir. Məsələn A nöqtəsi ortomərkəz nöqtəsidir. Həqiqətən də BC₁,CB₁,HA₁ -nin hün­dür­lük­lə­ri­dir. A, B, C, Hnöqtələrindən hər hansı ikisini birləşdirən düz xətt, digər ikisini birləş­di­rən düz xəttə perpendikulyardır.

Tanqensial üçbucaq

Tərif:

Tərəfləri verilmiş üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrəyə təpə nöqtələrində toxunan üçbucağa tanqensial üçbucaq deyilir. Şəkildə -yə nəzərəntanqensial üçbuca­qdır.

Teorem

Tanqensial üçbucağın bucaqlarının -nin bucaqları ilə ifadəsi aşağıdakı müna­si­­bətlərdən tapılır.

Isbatı:

Uyğun qayda ilə digər düsturları almaq olar.

Nəticə:

Ortomərkəz və tanqensial üçbucaqların uyğun bucaqları bərabər olduğundan onlar oxşar­­dırlar.

Teorem

Ixtiyarı üçbucağın sahəsi ortomərkəz və tanqensialı üçbucaqların həndəsi ortasına bəra­­bərdir.

Isbatı:

Verilmiş üçbucağın, ortomərkəz və tanqensial üçbucaqlarının sahə və perimetrlərinin uyğun olaraq S, P, S_H, P_H, S_t, P_t ilə işarə edək. Onda tanqensial və ortomərkəz üçbu­caqlar oxşar olduğu üçün = (1). Digər tərəfdən S_t =P_t ∙ R (2) ( -nin xari­­cinə çəkilmiş çevrə eyni ilə tanqensial üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrədir). Məlumdur ki, S = P_HR (3). (2) və (3)-dən = (4) (1) və (4) -dən

Teorem

-nin sahəsiS bucaqları α, β, γ olarsa, tanqensial üçbucağın sahəsi



Isbatı:

Məlum düstura əsasən

Burada S_H = 2S cosαcosβcosγ olduğunu nəzərə alsaq:



Teorem

-nin tərəfləria, b, c, uyğun bucaqları α, β, γ olarsa tanqensial üçbucağın tərəf­lərini aşağıdakı münasibətdən tapmaq olar.







Isbatı:

Məlumdur ki, ortomərkəz və tanqensial üçbucaqlar oxşardırlar, yəni:

.

Oxşarlıq əmsalını aşağıdakı kimi tapmaq olar.

Onda

Uyğun qayda ilə

Teorem

-nin bucaqları α, β, γ xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R olanda, bucaq üç-bucağa nəzərən tanqensial olan -nin tərəfləri aşağıdakı münasibətlərdən tapı­lır.







Isbatı:

olduğundan a₂ = ka₁, b₂ = kb₁, c₂ = kc₁. Burada

olduğunu nəzərə alsaq:

Uyğun qayda ilə almaq olar.

Teorem

-nin xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, onun daxili bucaqları α, β, γ olarsa, tan­qensial üçbucağın perimetri aşağıdakı münasibətdən tapılır:

P_t = Rtgαtgβtgγ

Isbatı:

Məlum P_t = kP_H düsturunda

olduğunu nəzərə alsaq

Teorem

-nin daxili bucaqları α, β, γ, xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R olarsa, tan­qen­sial üçbucağın xaricinəçəkilmiş çevrəninradiusu aşağıdakı münasibətdən tapılır:





Teorem

Tanqensial üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu -nin xaricinəçəkil­miş çevrəninradiusuna bərabərdir.

Isbatı:

Tanqensial üçbucağın tərifinə əsasən onun tərəfləri -ninxaricinəçəkilmiş çev­rəyə toxunur, deməli bu çevrə tanqensial üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrə ilə eynidir. Həqiqətən də

Teorem

-nin BC oturacağını diametr qəbul edərək yarımçevrə çəkilmişdir. Yarımçevrə ilə BC tərəfinə çəkilmiş hündürlüyün kəsişmə nöqtəsi k, ortomərkəzH olarsa



Isbatı:

Məlumdur ki, . Onda

Lakin (yarımçevrəyə söykənir) olduğundanKD² = BD ∙DC (2). (2)-ni (1)-də nəzərə alsaq KD² = AD ∙HD bərabərliyinin hər iki tərəfini

və ya

və ya

Teorem

Itibucaqlı -nin AB, BC, CA tərəflərini diametr qəbul edərək yarımçevrələr çə­ki­l­­­mişdir. Bu yarımçevrələrin həmin tərəfə çəkilmiş hündürlüklərləkəssişmə nöqtələri uyğun olaraq M, N, K olarsa .

Isbatı:

Bundan əvvəlki məsələnin nəticəsindən istifadə etsək:

Bu bərabərlikləri tərəf-tərəf toplasaq:

olar.