Integrallash usullari

5. Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.
Ikkita ko’phadning nisbati

kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi. Bunda _{ } hamda _{ } ko’phadlarning daraja ko’rsatkichlari bo’lib, ular natural sonlardir. Agar_{ } bo’lsa, _{ } kasr-ratsional funktsiya to’g’ri kasr, _{ } da esa noto’g’ri kasr deyiladi
_{ }ratsional kasr noto’g’ri bo’lgan hollarda kasrning _{ }suratini _{ }maxrajiga odatdagidek bo’lish bilan uning butun qismi ajratiladi.
Quyidagi kasrlar eng sodda kasr-ratsional funktsiyalar deyiladi.



Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.
Bu yerda <sub> 


 </sub> bo’lgan holda.

tenglikdan_{ }va_{ }lar topiladi va_{ }holatga keladi.
_{ }bo’lgan holda.


tenglik_{ }holatga keldi.
_{ }U holda_{ }Bundan


6. Trigonometrik funktsiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash.
Barcha trigonometrik funktsiyalarni _{ }orqali ratsional ravishda ifodalash mumkin. Bu ifodani_{ }orqali belgilaymiz.
_{ }integralni qaraymiz. Bu integralda_{ }universal (umumiy) almashtirish bajarilsa, u holda integral ostidagi ifoda_{ }o’zgaruvchining ratsional funktsiyasiga aylanadi:



1. Agar_{ }funktsiya_{ }ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
_{ } bo’lsa, u holda _{ } almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
2. Agar_{ }funktsiya_{ }ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
_{ } bo’lsa, u holda _{ } almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
3. Agar_{ }funktsiya_{ }va_{ }ga nisbatan juft bo’lsa, ya’ni
_{ } bo’lsa, u holda _{ } almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
Bu yerda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan formulalardan foydalaniladi:

4._{ } ko’rinishdagi integrallarda
_{ }Agar_{ }va toq bo’lsa, u holda_{ 
 }Agar_{ }va toq bo’lsa, u holda_{ }
almashtirishlar bu funktsiyalarni ratsionallashtiradi.
_{ }Agar_{ }va_{ }ko’rsatkichlar juft va nomanfiy bo’lsa, u holda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib,_{ } yoki yana_{ }olni hosil qilamiz.
_{ }(juft va nomusbat) bo’lsa, u holda_{ }yoki _{ }almashtirish bajarsak, berilgan integral darajali funktsiyalarning integrallari yig’indisiga keladi.
_{ } Agar darajalardan biri (_{ } yoki _{ } nolga teng, ikkinchisi manfiy toq son bo’lsa, u holda

universal almashtirish (o’rniga qo’yish)ni bajarsak, u darajali funktsiyalarni integraliga keladi.
5. _{ }
ko’rinishdagi ifodalarni integrallashda trigonometrik funktsiyalar ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalaridan foydalaniladi:



Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishda,
xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi.