İnvariant altfəzalar

TEOREM. φ xətti operatorunun həqiqi xarakteristik kökləri varsa, onda yalnız bu köklər onun məxsusi qiymətləri olurlar.
Bu teoremin isbatı yuxarıdakı teoremin isbatından demək olar ki, fərqlənmir. Burada yalnız |A-λE|=0 tənliyinin həqiqi kökə malik olub olmamasını xatırlamaq lazımdır.
İndi xətti operatorun məxsusi qiymət və məxsusi vektorunun tapılmasına aid bir neçə misal göstərək.

1. 
   Tutaq ki, φ xətti operatoru fəzanın hər hansı bir bazisində matrisi ilə verilib. Bu xətti operatorun məxsusi qiymətini və uyğun məxsusi vektorunu tapaq.
   

Əvvəlcə burada
|A-λE|=
xarakteristik çoxhədlisini tapıb. xarakteristik tənliyindən, onun λ₁= -3 və λ₂=1 köklərini taparıq. Bunlar A matrisinin və eləcə də bu matrislə verilə φ xətti operatorunun məxsusi qiymətləridir. İndi bu məxsusi qiymətlərinə uyğun məxsusi vektorları tapaq. Bunun üçün λ₁= -3 və λ₂=1 qiymətlərinə əsasən teoremin isbatında aldığımız (3) kimi xətti bircins tənliklər sistemi qurmalıyıq. Aydındır ki, bu sistemlər aşağıdakı kimi olar: λ=-3 qiymətinə uyğun
(6)
və λ₂=1 qiymətinə uyğun
(7)
~ 6 ~
(6) sistemindən x₁=x₂ alarıq . Burada x₂=ξ qəbul etsək (ξ ϵ P) onda fəzanın
x=( ξ , ξ)= ξ(1,1) şəklində olan istənilən vektoru ξ şərti ilə axtarılan məxsusi vektor olacaq. Xüsusi halda , məsələn x=(1,1) vektoru məxsusi vektordur. Bunun kimi də λ₂=1 qiymətinə uyğun qurulan (7) sistemindən x₁=3x₂ tapırıq. x₂=ξ₂ qəbul etsək (ξ₂ ϵ P) , onda x₂ olanda ixtiyari (3 ξ₁ , ξ₂) şəklində vektorlar axtarılan məxsusi vektor olur, xüsusi halda x=(3,1) vektoru λ=1 məxsusi qiymətinə uyğun məxsusi vektor olur ( burada ξ₂=1 qəbul edirik ).

2. 
   a) B=
   

matrisləri ilə verilmiş xətti operatorun məxsusi qiymət və məxsusi vektorlarını tapaq.
a) Yenə də əvvəlcə xarakteristik
D_B(λ)= |B-λE|=
tənliyindən λ₁=0 , λ₂=1 və λ₃=2 məxsusi qiymətlərini tapırıq. Bu qiymətlərlə əlaqədar olan (3) tipli cəbri tənliklər sistemi aşağıdakı kimi olar:

(8) sistemində birinci tənlikdən x₁=-3x₂, üçüncü tənlikdən x₃=4x₂ tapırıq. Göründüyü kimi bu ifadələri sistemin ikinci tənliyində yazsaq bu tənlik ödənər. Əgər x₂=ξ₃ qəbul etsək (ξ₃ ϵ P) , onda x₂ halı üçün λ₁=0 məxsusi qiymətinə uyğun məxsusi vektor ümumi şəkli y=(-3x₂,x₂,4x₂)= ξ₃(-3,1,4) şəklində olan vektordur. Xüsusi halda, məsələn, ξ₃=-1 qəbul etsək, bu məxsusi vektor x=(3,-1,4) olar.
(9) sistemini həll etdikdə x₂=0, 7x₁+5x₃=0 taparıq. Onda λ₂=1 məxsusi
~ 7 ~
qiymətinə uyğun məxsusi vektor, məsələn xüsusi halda z=(5,0,-7) vektoru olar.
(10) sistemindən isə x₁=3x₂, x₃=-4x₂ taparıq. Onda λ=2 məxsusi qiymətinə uyğun məxsusi vektor, məsələn, u=(3,-1,-4) olar. Ümumi halda isə u-nun P-dən götürülmüş ixtiyari bir ədədlə hasilindən ibarət vektor olar.
b) D_C(λ)= |C-λE|=
Bu tənliyin λ₁=18, λ₂=6, λ₃=3 köklərini taparıq. Yenə də uyğun bircins cəbri tənliklərini qurub bu sistemlərdən axtarılan məxsusi vektorların koordinatlarını hesablaya bilərik. Məsələn , λ₃=3 qiyməti üçün sistem

şəklində olar. Bu sistemi həll etmək üçün onun ilk iki tənliyi ilə kifayətlənmək olar. Çünki bu sistemin determinantı sıfır, matrisinin ranqı isə iki olduğundan iki tənliyi xətti asılı deyil. Burada sərbəst məchul olaraq x₁=c₃ qəbul etsək, onda

sistemi alarıq ki, buradan da λ₃=3 qiymətinə uyğun u=c₃(1,2,2) şəklində məxsusi vektoru tapa bilərik.

~ 8 ~