İnvariant altfəzalar

TEOREM 1. φ xətti operatorunun iki U₁ və U₂ invariant altfəzalarının cəmi və kəsişməsi yenə də φ-yə nəzərən invariant altfəzalardır.
İSBATI. Tutaq ki, U=U₁+U₂ , U₀=U₁ U₂ işarə edək. Göstərməliyik ki, U və U₀ altfəzaları φ-yə nəzərən invariant altfəzalardır:
φ(U) ⊂ U , φ(U) ⊂ U₀
U cəm olduğundan üçün x₁ x₂ var ki,
x=x₁+x₂ (*)
olur.
U₁ və U₂ invariant altfəzalar olduğu üçün φ(x₁) U₁ və φ(x₂) U₂ olur . (*)-dan φ(x)= φ(x₁+x₂)= φ(x₁)+ φ(x₂); bu bərabərlik göstərir ki , φ(x) və x ixtiyari olduğundan φ(U) ⊂ U alarıq. Deməli, U invariant altfəzadır.
Indi x₀ U₀ olsun. Onda x₀ U₁ və x₀ U₂ , digər tərəfdən φ(x₀) U₁ və φ(x₀) U₂ , deməli φ(x₀) U₀ olmalıdır. Buradan isə φ(U) olur. Deməli, U₀ da invariant altfəza olur.
TEOREM 2. Əgər U qeyri-məxsusi φ xətti operatoruna nəzərən invariant alt fəzadırsa, onda U φ-nin tərsinə nəzərən də invariant altfəzadır.
İSBATI. Şərtə görə φ(U) . Göstərməliyik ki, φ(U) U-dan
e₁,e₂,....,e_k (1)
bazisini seçək. Aşkardır ki , e_i U və φ(e_i) (i= ) olmalıdır. φ qeyri-məxsusi olduğu üçün
φ(e₁), φ(e₂),...., φ(e_k) (2)
vektorları xətti asılı deyil. Deməli, (2) sistemi də U altfəzasının bazisi kimi qəbul
~ 2 ~
edilə bilər. Onda üçün
₁φ(e₁)+ ₂ φ(e₂)+...+ _k e_k (3)
yeganə ayrılış yazmaq mümkündür. Əgər (3)-ə φ^-1 təsir etsək, φ^-1 xətti operator olduğundan
φ (x)= ₁e₁+ ₂ e₂+...+ _k e_k (4)
alarıq. Bu onu göstərir ki, φ^-1(x) U və deməli U-nun ixtiyari x vektoru üçün
φ^-1(x) U , yəni φ^-1(U) alırıq.
Eyni bir matrisi müxtəlif üsullarla hücrələrə bölmək olar və hücrələrə bölünmüş A matrisində, A₁₁,A₂₂,...,A_ss kvadrat hücrələr, qalanları isə müəyyən ölçülü θ_ij sıfır matrislər olan

matrisi hücrəli-diaqonal matris adlanır. Çox zaman belə matrislər barədə deyirlər ki, A matrisi A₁₁,A₂₂,...,A_ss matrislərinə parçalanır və bunu belə yazırlar :
A= A₁₁+A₂₂+...+A_ss
Onu da yada salaq ki, parçalanan matrislər üzərində aparılan əməllər onların diaqonal hücrələri üzərindəki müvafiq əməllərə gətirilir. Digər tərəfdən bu da məlumdur ki : kvadrat diaqonaldan bir tərəfdə olan hücrəli-üçbucaq, yaxud yarımparçalanan matris deyilir
Sıfır hücrələrinin baş diaqonaldan yuxarıda yerləşdiyi yarımparçalanan hücrəli matris aşağıdakı kimi olar:

~ 3 ~
Məxsusi qiymət və məxsusi vektorun tapılması .
Xətti operatorun məxsusi vektorunun varlığı məsələsi onun xarakteristik kökü ilə bilavasitə bağlıdır.
TEOREM. Kompleks xətti fəzada xətti operatorun məxsusi qiymətləri yalnız onun xarakteristik köklərindən ibarətdir.
İSBAT. λ₀ ədədi φ xətti operatorunun məxsusi qiyməti, x isə uyğun məxsusi vektoru olsun: . Göstərməliyik ki, ədədi
φ-nin xarakteristik ədədi , yəni
|A-λE|=0
tənliyinin kökü olmalıdır. Bilirik ki,
x= ₁e₁+ ₂ e₂+...+ _n e_n (*)
burada e₁,e₂,...,e_n V_n fəzasının bazisi, bu bazisə nəzərən x –ın koordinatlarıdır. x məxsusi vektor olduğundan
x=( )
yəni koordinatlarından heç olmazsa biri sıfırdan fərqli ədəddir. (*) bərabərliyindən və x-in məxsusi vektor olması şərtindən
φ (x)= ₁) e₁+ ₂) e₂+...+ _n )e_n (*`)
Əgər vektorun özü ilə obrazının koordinatları arasındakı münasibəti yada salsaq :
₁ , ₂,... _n ) =( )A (1)
bu münasibət

~ 4 ~
ξ₁α₁₁+ ξ₂α₂₁+...+ ξ_nα_n1= ₁

............................................ (2)
ξ₁α_1n+ ξ₂α_2n+...+ ξ_nα_nn= _n
yaxud
(α₁₁-λ₀)ξ₁+ ξ₂α₂₁+...+ ξ_nα_n1=
............................................. (2`)
ξ₁α_1n+ ξ₂α_2n+...+ (α_nn- λ₀)ξ_n=
bərabərliklər sistemi eyni güclüdür.
Bu bərabərliklərin ödənməsi isə o deməkdir ki, ədədləri aşağıdakı n məchullu n sayda
(α₁₁-λ₀)x₁+ α₂₁ x₂+...+ α_n1 x_n=
............................................... (3)
α_1n x₁ + α_2n x₂ +...+ (α_nn- λ₀)x_n=
kimi bircins xətti tənliklər sisteminin sıfır olmayan həllərindən biridir : ( ) . Məlum olduğuna görə (3) sisteminin isə sıfır həllindən əlavə sıfırdan fərqli həllinin olması üçün onun determinantının sıfra bərabər olmalıdır:
(4)
Əgər bu determinantı transponirə etsək
(5)
alarıq ki, bu da məhz φ-nin |A-λE|=0 xarakteristik tənliyidir.
~ 5 ~
Göründüyü kimi λ₀ ədədi bu tənliyin köküdür. Bununla teorem isbat olunur .