Ishdan maqsad: Talabalarda algoritmlarni asimptotik tahlil qilish haqida ko’nikmalar hosil

Yechilishi:
Quyida shu misolning C++ dastur kodi va natijasi keltirilgan. 

---

 
 
1.1-topshiriq varianlari 
Berilgan integralni Simpson hamda Monte-Karlo usulida hisoblang. Oraliqni bo’linish soni
N 
, hamda sinovlar soni
M
ko’rsatilgan. 
№ 
𝒇(𝒙)
 
[𝒂, 𝒃]
 
𝑵
 
𝑴
 
1.
 
 
𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 3) ∙ 𝑙𝑛(𝑥
2
+ 3𝑥 + 1)
[0;1] 
12 
100 
2.
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥
2
+ 𝑥 + 1) ∙ 𝑒
−𝑥
2
+𝑥+2
[0;2] 
18 
180 
3.
 
 
(𝑥
2
+ 3𝑥 + 1) ∙ 𝑡𝑔(𝑥 − 0,5)
[0,5;1,5] 
10 
160 
4.
 
 
𝑙𝑛(𝑥
2
+ 3) ∙ 𝑠𝑖𝑛
2
(𝑥 + 1)
[0;1] 
12 
100 
5.
 
 
𝑠𝑖𝑛
2
(𝑥 + 1) ∙ 𝑒
−𝑥
2
[0;1] 
14 
150 

---

6.
 
 
𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 2) ∙ 𝑒
−𝑥
2
[0;1] 
10 
180 
7.
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥
2
+ 1) ∙ √𝑥
3
+ 3𝑥 + 1
3
[0;2] 
20 
160 
8.
 
 
(𝑥
2
+ 5) ∙ 𝑡𝑔(𝑥
2
+ 1)
[0;1] 
12 
100 
9.
 
 
√𝑥
2
+ 𝑥 + 4
3
∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 1)
[-1;1] 
20 
150 
10.
 
 
𝑒
−𝑥
2
∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 1)
[0;1] 
10 
140 
11.
 
 
𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 𝑥 + 1)
(𝑥
3
+ 5𝑥 + 1)
[0;1] 
10 
140 
12.
 
 
𝑒
−𝑥
2
+𝑥+1
/(𝑥
3
+ 5)
[1;2] 
12 
100 
13.
 
 
(𝑥
2
+ 𝑥 + 1)/√𝑥
3
+ 5
[0;2] 
20 
150 
14.
 
 
√𝑥
2
+ 5 ∙ 𝑙𝑛(𝑥
2
+ 𝑥 + 3)
[0;1] 
10 
110 
15.
 
 
√𝑥
2
+ 3𝑥 + 1
3
∙ 𝑒
−𝑥
2
[1;2] 
12 
200 
16.
 
 
𝑒
𝑥
2
∙ 𝑡𝑔𝑥
2
[0;1] 
10 
120 
17.
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
∙ √𝑥
3
+ 2𝑥 + 1
[0;2] 
18 
200 
18.
 
 
ln(𝑥
2
+ 1) ∙ √𝑥
2
+ 3𝑥 + 1
3
[1;3] 
16 
150 
19.
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥
2
+ 1) ∙ 𝑒
−𝑥
2
[0;1] 
10 
100 
20.
 
 
𝑒
−𝑥
2
∙ √𝑥
2
+ 7𝑥 + 1
3
[1;3] 
16 
120 
21.
 
 
𝑒
−𝑥
2
∙ (𝑥
3
+ 𝑥 + 1)
[1;3] 
20 
140 
22.
 
 
𝑠𝑖𝑛𝑥
2
∙ 𝑒
−𝑥
2
+ 1
[0;2] 
16 
200 
23.
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥
2
+ 1) ∙ √𝑥
2
+ 5𝑥 + 8
3
[0;1] 
10 
160 
24.
 
 
𝑒
𝑥
∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 2)
[0;1] 
10 
100 
25.
 
 
(𝑥
2
+ 𝑥) ∙ ln 𝑥
[1;3] 
12 
120 
26.
 
 
𝑒
𝑥
/(𝑥
3
+ 3𝑥
2
+ 2𝑥 + 1)
[0;2] 
14 
150 
27.
 
 
𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
+ 𝑥) ∙ 𝑙𝑛(𝑥
2
+ 3)
[0;2] 
18 
200 
28.
 
 
𝑡𝑔(𝑥
2
+ 1) ∙ ln 𝑥
[0;0,5] 
10 
100 
29.
 
 
𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ √𝑥
2
+ 1
[0;2] 
20 
150 
30.
 
 
𝑒
−𝑥
2
∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 1)
[1;2] 
12 
100 
 
1.2. Algebraik va transtsendent tenglamalarni yechishda oraliqni teng ikkiga bo’lish, 
iteratsiya usullari. 
Tenglamaning ildizi mavjudligi sharti: 
Agar biror [
a,b
]
 
oraliqda 
y = f(x)
funksiya uzluksiz bo‘lib,
f(a) · f(b) < 0 
bo‘lsa, shu oraliqda 
f(x)=0
tenglamaning kamida bitta ildizi mavjud bo‘ladi. 
Agar biror [
a,b
] oraliqda 
y=f(x) 
funksiya uzluksiz bo‘lib, birinchi tartibli uzluksiz xosilaga 
ega bo‘lsa va
f(a) · f(b) < 0 , f ‘ (x) 
(
 
[
a,b
] da ishorasi o‘zgarmasa) shartlar bajarilsa, 
f(x)=0
tenglama shu oraliqda yagona xaqiqiy ildizga ega bo‘ladi. 

---

 
Algebraik tenglamaning taqribiy yechimini berilgan [a;b] oraliqda topishni quyidagi 
algoritm bo’yicha tashkil qilamiz: 
1. Berilgan [a;b] oraliqni o’rtasini hisoblaymiz.
2
b
a
C


(1.7) 
2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini
f(a)

 f(c)<0 
 
(1.8)
 
shartidan foydalanib aniqlaymiz. 
3.
Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni teng ikkiga 
bo’lib, yuqoridagi amallarni yana takrorlaymiz. 
4.
Odatda tenglamaning taqribiy yechimini birorta aniqlik bilan topish so’raladi. 
Demak δ aniqlik berilgan bo’lsa, oraliqni bo’lish jarayonining xar bir qadamida ׀ b-a ׀ < δ (1.9) 
shart bajarilishi tekshiriladi. Shart bajarilganda oraliqning o’rta nuqtasi x
*
, δ aniqlik bilan 
topilgan taqribiy yechim sifatida qabul qilinadi. Yangi oraliq uchun yuqoridagi ishlarni qayta 
takrorlaymiz va buni oraliq uzunligi δ -dan kichik bo’lmaguncha davom ettiramiz. Oxirgi oraliqni 
o’rta nuqtasini tenglamaning taqribiy yechimi sifatida qabul qilish mumkin.Oraliqni teng ikkiga 
bo’lish usulining algoritmi: 
F (x) =… 
с=(a+b)/2 
f(a)

f(
с
)<0 
b=c 
a=c 
b-a<
E
с 
a,b 
F(a)

(f(b)

0 
Е 
ха 
йук 
ха 
ха 
йук 
йук 

---

Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli uchun dastur kodi: 
program ikkiga_bolish; 
var a,b,eps:real; 
function f(x:real):real; 
begin f:= {tenglamani o'ng tarafini yozing} end; 
begin 
write('a,b,eps=?');readln(a,b,eps); 
1 : c:=(a+b)/2; 
if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c; 
if (b-a)> e then goto 1; 
write(' Yechim =' , (a+b)/2) 
end. 
 
1-Vazifa.
Tenglamalar yechimlari joylashgan [a; b] oraliqni grafik va analitik usullar bilan 
ajrating.
 
2-Vazifa. 
Tenglamalar yechimlari joylashgan oraliqlar aniqlangandan so’ng taqribiy 
yechimlarini oraliqni teng ikkiga bo’lish usulida E=0.001 aniqlikda hisoblang. Algoritmini tuzib, 
dasturlash tilida dastur kodini yozib natija oling. 
3-Vazifa
. Algebraik va transtsendent tenglamalarning taqribiy yechimlarini vatarlar va 
urinmalar usuli bilan toping. Algoritmini tuzib, dasturlash tilida dastur kodini yozib natija oling. 
 
Laboratoriya ishiga doir topshiriq variantlari: 
1. a) 2x
3
-2x-1=0
b) 3x+cosx+1=0
 
2. a) x
3
-x

7=0
b) lnx+2
x
=0 
3. a) 2x
3
-2x
2
+3x+1=0
b) x+cosx-1=0
 
4. a) 2x
3
-x-5=0
b) 
x
x


1
1
.
 
5. a) x
3
-3x
2
+2x-4=0 
b) x
2
+4

sinx=0 
6. a) x
3
+2x
2
+5x+2=0 
b) lnx+x+1=0 
7. a) 2x
3
+2x-4=0 
b) 2x-lgx=3
 
8. a) x
3
-2x
2
+7x-1=0 
b) 
x
x


lg(
)
2
 
9. a) 2x
3
+3x+4=0 
b) x
2
=3sinx 
10. a) x
3
-3x
2
+6x+2=0
b) 3x-2lnx=4 

---

11. a) x
3
-2x+2=0 
b) 4x-e
x
=0 
12. a) x
3
-3x
2
+2x-4=0
b) x

(x+1)
2
=2 
13. a) x
3
+x-8=0
b) 3-2x=lnx
 
14. a) x
3
-3x
2
+5x+1=0
b) 2x-cosx=0 
15. a) x
3
-x+2=0
b) sin(x/2)+1=x
2
16. a) x
3
-3x
2
+7x+1=0
b) 2x+lgx=-0,5 
17. a) x
3
-3x+1=0 
b) (2-x)

e
x
=1 
18. a) x
3
+x
2
+2x+4=0 
b) x
3
=2sinx 
19. a) x
3
-2x-5=0
b) 2x-2
x
=0 
20. a) x
3
+2x
2
+3x-2=0
b) x
2
-4

sinx=0 
21. a) x
3
+4x-6=0 
b) x
2
=ln(x+2) 
22. a) x
3
-3x
2
+6x-5=0
b) 2x-cosx=0 
23. a) x
3
-2x+7=0 
b) 3x+cosx=2 
24. a) x
3
-4x+1=0 
b) x+lgx=1,5 
25. a) x
3
+2x

1=0
b) x
2

x
-3=0 
26. a) 2x
3
-3x-5=0
b) 2x-2
x-1
=0 
27. a) x
3
+(1/2)x-2=0
b) x
2
-sosx=0 
28. a) x
3
-x+1=0
b) (2+x)

e
x
=1 
29. a) x
3
+x
2
+x+4=0 
b) x
3
=2cos(x) 
30. a) x
3
-3x+15=0
b) 2x-e
x
=0 
 
Tenglamalarni yechishda Nyuton va vatarlar usullari. Yaqinlashish tezligi. 
Nyuton (Urinmalar)
usuli. 
f(x)=0 tenglama berilgan. Biror [a;b] oraliqda f(a)*f(b)<0 bo’lsin. [a,b] oraliqdagi (b,f(b)) 
nuqtadan urinma o’tkazamiz. 

---

)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y




)
(
,
0
0
b
f
y
b
х










0
)
)(
(
)
(
y
b
x
b
f
b
f
y
)
(
)
(
1
b
f
b
f
b
x



0
x
b

)
(
)
(
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x



)
(
)
(
1
1
1
2
x
f
x
f
x
x



..........
..........
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x




(1.10)




n
n
x
x
1
(1.11)
Nyuton (Urinma) usuli yordamida [a;b] oraliqda 




n
n
x
x
1
aniqlida taqribiy ildizlarini 
topish algoritm blok sxemasi. 
Misol
. 
e
x
− 10x − 2 = 0
tenglama taqribiy yechimini 

=0.01 aniqlik bilan toping.
Yechish. 
F(x) = e
x
− 10x − 2 = 0 
funktsiya 
[-1;0]
oraliqda 1.3-teoremaning barcha shartlarini 
qanoatlantiradi.
𝑓
′′
(x) = e
x
> 0
, x

[-1;0] 
va
f
(-1)=8.386>0
dan 
𝑓(−1)𝑓
′′
(−1) > 0
bo’lgani uchun 
a
0
=-1 deb olinadi. 
𝑓
′
(−1) = 𝑒
−1
− 10 = −9.632
ni e’tiborga olib, birinchi 
yaqinlashish 
a
1
ni hisoblaymiz:
𝑎
1
= 𝑎 −
𝑓(𝑎)
𝑓
′
(−1)
= −1 −
8.386
−9.632
= −0.131.

---

Yaqinlashish shartini tekshiramiz: 

 a
1
-
 a
0

= 

-0.131+1

= 0.869>

=0.01
bo’lgani uchun ikkinchi yaqinlashish
a
2
ni 

 
 
𝑎
2
= 𝑎
1
−
𝑓(𝑎
1
)
𝑓
′
(a
1
)
 
formula bilan topamiz. 
𝑓(𝑎
1
) = 𝑒
−0.131
+ 10(0.131) − 2 = 0.1895,
𝑓
′
(𝑎
1
) = 𝑦𝑒
−0.131
− 10 = −9.123
lar asosida: 
a
2
=-0.131- 0.1895/(-9.123) = -0.1104.
Yana

a
2
- a
1

 = 
0.0214 > 

bo’lgani uchun 
a
3
ni topamiz. 
lar asosida: 
 
 
𝑎
3
= 𝑎
2
−
𝑓(𝑎
2
)
𝑓
′
(𝑎
2
)
= −0.1104 −
0.0006
−0.1046
= −0.1104,
 
yaqinlashish sharti 

a
3
-
a
2

< 

=0.01 bajarilganligi uchun tenglamaning 

=0.01 aniqlikdagi 
taqribiy yechimi: 
x

 a
3
= -0.11 bo’ladi.