Исходные данные

3.3. Optimal funktsiyani tanlash.
Manba ma'lumotlari bilan ko'proq korrelyatsiyaga ega bo'lgan funktsiyani tanlash uchun manba nuqtalari va taxminiy analitik funktsiya orasidagi og'ish kvadratlari (SCO) yig'indisini hisoblash kerak.


(3.5)

Gomperz Funktsiyasi:

(3.6)
Logistika funksiyasi:
(3.7)

T.K. SKO₂ < SKO₁. logistika funktsiyasi dastlabki ma'lumotlarni yaxshiroq taxmin qiladi.

3.4. Eng kichik kvadratlar usuli

Juft chiziqli regressiya koeffitsientlarini baholash muammosini ko'rib chiqing. Aytaylik, orasidagi bog'liqlik x va chiziqli: y = +X. Bu erda biz miqdorlarning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlikni nazarda tutamiz x va y, ya'ni umumiy aholi uchun. O'zgaruvchiga ta'sir qilish natijasida yuzaga keladigan tasodifiy og'ishlarning mavjudligi y bizning tenglamamizda hisobga olinmagan boshqa ko'plab omillar va o'lchov xatolari kuzatilgan miqdorlarning bog'lanishiga olib keladi x_i va y_iko'rinishga ega bo'ladi y_i=+x_i+є_i,.  Bu erda є_i. - tasodifiy xatolar (og'ishlar, buzilishlar). Muammo quyidagicha: mavjud kuzatuv ma'lumotlariga ko'ra {x_i}, {y_i} parametr qiymatlarini baholash  va , minimal qiymatni ta'minlash  . Agar og'ishlarning aniq qiymatlari ma'lum bo'lsa є_i, keyin (taxmin qilingan chiziqli formulaning to'g'riligi bo'lsa) parametrlarning qiymatlarini hisoblash mumkin bo'ladi  va . Biroq, namunadagi tasodifiy og'ishlarning qiymatlari noma'lum va x kuzatuvlari bo'yicha_i va y_iparametrlarni baholash mumkin a va b, ular o'zlari tasodifiy o'zgaruvchilar, chunki ular tasodifiy namunaga mos keladi. Ruxsat bering va - parametrlarni baholash , b - parametrlarni baholash . Keyin taxmin qilingan regressiya tenglamasi shaklga ega bo'ladi:

y_i=а+bx_i+е_i, (3.8)

qayerda e_i - kuzatilgan xato qiymatlari є_i.

Parametrlarni baholash uchun  va  haqiqiy qiymatlarning SCO-ni minimallashtiradigan MNC-dan foydalanamiz_i hisoblanganlardan. Minimal o'zgaruvchilar tomonidan qidiriladi va va b.

Olingan MNKLARNI baholash uchun va va b kerakli xususiyatlarga ega edi, biz og'ishlar haqida quyidagi shartlarni bajaramiz є_i:

1. 
   величина є_i tasodifiy o'zgaruvchidir;
   
2. 
   matematik kutish є_i nolga teng: M (є_i) = 0;
   
3. 
   dispersiya є doimiy: D(є_i) = D(є_i) = ² hamma uchun i, j;
   
4. 
   demak є_i ular bir-biri bilan mustaqil. Bu qaerdan kelib chiqadi, xususan
   

(3.9)
Ma'lumki, agar shartlar (1 - 4) bajarilsa, u holda MNC bilan qilingan taxminlar quyidagi xususiyatlarga ega:

1. 
   Hisob-kitoblar xolis emas, t.E. har bir parametrni baholashning matematik kutilishi uning haqiqiy qiymatiga teng: M (a) =; M(b)=. Bu shundan kelib chiqadi M(є_i) \ U003d 0, va regressiya chizig'ining o'rnini aniqlashda tarafkashlik yo'qligi haqida gapiradi.
   
2. 
   Hisob-kitoblar boy, chunki kuzatuvlar sonining ko'payishi bilan parametrlarni baholashning o'zgarishi nolga teng: ; . Boshqacha qilib aytganda, agar p juda katta, keyin deyarli aniq va ga yaqin , va b yaqin : namuna ortishi bilan baholashning ishonchliligi oshadi.
   
3. 
   Hisob-kitoblar samarali bo'lib, ular berilgan parametrning boshqa har qanday taxminlariga nisbatan eng kam farqga ega, miqdorlarga nisbatan chiziqli y_i . [1]
   

Ro'yxatda keltirilgan xususiyatlar miqdorlarni taqsimlashning o'ziga xos turiga bog'liq emas є_i. shunga qaramay, ular odatda n(0;y) normal taqsimlangan deb taxmin qilinadi²). Bu taxmin qilingan taxminlarning statistik ahamiyatini tekshirish va ular uchun ishonch oralig'ini aniqlash uchun zarurdir. Amalga oshirilganda, MNC baholari nafaqat chiziqli, balki barcha xolis baholar orasida eng kam dispersiyaga ega.

Agar taxminlar (3 - 4) buzilgan bo'lsa, unda bezovtalanish dispersiyasi doimiy emas va/yoki є qiymati. ular bir - biri bilan bog'liq, keyin xolis va izchillik xususiyatlari saqlanib qoladi, ammo samaradorlik xususiyati yo'q.
Keling, juft chiziqli regressiya parametrlarini baholash tartibini ko'rib chiqaylik va va b. SCO (3.5) funktsiyasi minimal darajaga yetishi uchun uning qisman hosilalari nolga teng bo'lishi kerak:

Qayerdan:

(3.12)