Ызбекистон Республикаси Олий ваг орта мащсус таълим вазирлиги

5-chi asosiy savol.
Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan echish.
O’qituvchining maqsadi.
Talabalarga chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan echish yo’llarini o’rgatishdan iborat.
Identiv – o’quv maqsadlari.
5.1 Tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasini echish usullarini biladilar.
5.2 Tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini echishning Gauss usulini buladilar.
5-chi asosiy savolga oid muammoli savollar.

1. 
   Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi.
   
2. 
   Noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli.
   
3. 
   Birgalikda bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi.
   
4. 
   Cheksiz ko’p echimga ega bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi.
   

5-asosiy savolning bayoni. Yuqorida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tanishtirdik va bunday sistemaning determinanti noldan farqli bo’lsa, u holda sistema yagona echimga ega bo’lishini ko’rdik.
Endi, ixtiyoriy, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bunday sistema uchun echim yagona bo’lmasligi yoki umuman echim mavjud bo’lmaslgi ham mumkin. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi birorta ham echimga ega bo’lmasa, sistema birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi echimga ega bo’lsa, bunday sistema birgalikda hisoblanadi.
Koeffitsiyentlari sonlardan iborat bo’lgan tenglamalar sistemasi echimlarini topish uchun qulay bo’lgan noma’lumlarni yo’qotish(chiqarpish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko’rsatamiz.
Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(20)
(20) da deb faraz qilaylik. Dastlab 1-chi tenglamadan tashqari barcha tenglamalardan ni yo’qotib, (20) sistemasini o’zgartiramiz. Buning uchun 1-chi tomonning har ikkala tomonini ga bo’lib chiqamiz. Natijada (20) sistemaga ekvivalent bo’lgan yangi sistemani hosil qilamiz:
(21)
Endi (21) sistemaning 1-chi tomoni ga ko’paytiramiz va uni 2-chi tomondan ayiramiz. So’ngra 1-chi tomoni ga ko’paytiramiz va 3-chi tomondan ayiramiz va hokozo. Natijada quyidagi, yana (21) sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
(22)
bunda


Endi (22) sistemaning ikkinchi tenglamasini koeffitsiyentga bo’lamiz va hosil bo’lgan sistemaning 2-chi tomonini ketma-ket koeffitsiyentlarga ko’paytirib uchinchi tenglamadan boshlab navbati bilan ayiramiz. Natijada (22)ga teng kuchli sistema hosil bo’ladi.
Agar bu jarayonni davom ettira borsak sistemaning chap tomonidagi birga koeffitsiyentlari nolga teng, ammo ozod hadi esa noldan farqli tenglamani o’z ichiga olgan sistemaga ega bo’lamiz. Bunday sistema birgalikda bo’lmagan sistema bo’ladi.
Agar (20) sistema birgalikda bo’lsa, u holda natijada quyidagi
(23)
sistemaga (bunda p

(24)
Sistemaga ega bo’lamiz.(23) sistema pag’onali sistema, (24) sistema esa uchburchak sistema deb ataladi.
(24) sistema uchburchak bo’lgan holda so’ngi tenglamadan ni topamiz, so’ngra ning qiymatini oldingi tomonga qo’yib ni topamiz va hokazo.
Agar (20) tomonlar sistemasi bir qator elementar almashtirishlarni bajargandan so’ng (24) uchburchak sistemaga keltirilsa, u holda (20) sistemaning birgalikda va u yagona echimga ega ekanligi kelib chiqadi.
Agar (20) sistema (23) pag’onali sistemaga keltirilsa, u holda (20) sistema echimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.
(23) tenglamalar sistemasini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Bu sistemadagi noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, uchburchak sistemasini hosil qilamiz. Undan esa qolgan barcha no’malumlarni ketma-ket topamiz. sonlar turli qiymatlarni qabul qilishligidan (20) sistema cheksiz ko’p echimlar to’plamiga ega ekanligi kelib chiqadi.