Jamiyat fikrining abstraktlanish jarayoni

Gamiltonning variatsion tamoyili.

Mexanikaning asosiy negizi sifatida berilgan - vaqtda mexanik parametrlarni bog’lovchi nafaqat (1), (9) yoki (11) differensial tenglamalar (ko’riladi), balki ixtiyoriy dan gacha vaqt oralig’ida mexanik tizim harakatini tasvirlovchi ba’zi bir umumiy xossalar ko’riladi. Quyidagi qiymatni tahlil qilib, bunga amin bo’lamiz, ya’ni:
(14)
qiymat kesmadagi Gamilton bo’yicha ta’sir deb ataladi. Ma’lumki, (14) qiymat vaqt bo’yicha harakatlanayotgan tizimga bog’liq funksionaldan iborat.
- o’lchovli - fazoda ikkita va nuqtalarni olamiz va ularni, tizim holatini vaqtlarda fiksirlab qo’yamiz ( tezlik - vaqtlarda fiksirlanmaydi). Tizim ixtiyoriy mumkin bo’lgan traektoriya bo’ylab, umuman aytganda fazo bo’yicha harakatlanib nuqtadan nuqtaga tushib qolishi mumkin, ya’ni traektoriya bo’ylab mavjud bog’lanishlar o’tkazamiz (quyidagi tasvirda fazo uchun keltirilgan).
Faraz qilaylik, dan gacha traektoriyalar orasida yaxlit yo’l mavjud bo’lsin. Unda funksiya ixtiyoriy vaqtda (6.11) Lagranj tenglamasiga bo’ysunsin. Qolgan yo’llar chet yo’llar (siniq chiziqlar), deb ataladi.
Gamilton tamoyili quyidagicha ifodalanadi:
- Gamilton ta’siri yaxlit yo’lda chet yo’llarga nisbatan ekstremal bo’ladi.
Quyidagi barcha mumkin bo’lgan yo’lning bir parametrli funksiyalar oilasini ifodalaymiz:
, bu yerda yaxlit yo’lni bildirsa, qiymat esa chet yo’lni bildiradi. Unda (6.14) ta’sir, ko’rinib turibdiki, - parametrning funksiyasi bo’ladi, ya’ni:
.
- variatsiya - parametrni variatsiyalash natijasida quyidagi ko’rinishga keladi:
, (6.15)
ya’ni yig’indi variatsiyalangan koordinatalar va tezlikka teng.
(15) ifodaning ikkinchi hadini bo’laklab integrallab quyidagicha

ifodaga ega bo’lamiz yoki bo’yicha o’rin almashtirish operatsiyasini va - bo’yicha differensiallashni

qo’llab quyidagi ifodaga kelamiz:
. (16)
- variatsiyaning qurilishiga ko’ra vaqtda nolga, ya’ni (16) ning o’ng tarafi birinchi hadi nolga teng. Yaxlit yo’l uchun (11) Lagranj tenglamasi o’rinli, shuning uchun ikkinchi hadi ham nolga teng bo’ladi.
Natijada yaxlit yo’lda (to’g’ri yo’l) . Bu Gamilton tamoyilining matematik ifodasidan iborat. U eng kichik ta’sir tamoyili deb ham ataladi.
Umumiyroq bo’lgan mexanik tizimlar uchun ((11) tenglamaga bo’ysunmaydigan) yaqin tasdiqlari Gamilton – Ostrogradskiy tamoyillari deb ataladi.
Shuni eslatib o’tish kerakki, variatsion masala:

uchun (6.11) tenglamaning variatsion hisobiga Eylerning differensial tenglamasi to’g’ri (yaxlit) yo’lga – ekstremal, uni qanoatlantiruvchi - songa - funksionalning (statsionar) barqaror qiymati deb ataladi.
Gamilton teskari tamoyilining tasdig’iga ishonish mumkin: agar biror yo’l uchun xossa bajarilsa, u holda yo’l to’g’ri (3-mashq) bo’ladi. Shuning uchun yuqorida qaralgan barcha uchta yondashuv teng huquqli va mexanik tizimning asosiy matematik tasnifi bo’lishi mumkin.