Jamiyat fikrining abstraktlanish jarayoni

Nyuton shaklidagi mexanik tizimlarning harakat tenglamalari. Birorta kuchning harakatini sinashga oid N-ta moddiy nuqtadan iborat tizimlar dinamikasi quyidagi tenglamalar orqali ifodalanadi:

(1)
bu yerda - moddiy nuqtalar og’irligi, - vaqt, - tenglamaning radius vektori, - barcha ta’sir etuvchi kuchlar. - orqali barcha nuqtalar tizimidan iborat koordinatalar to’plami belgilangan. - oldindan berilgan bo’lib, vaqtga, koordinatalar fazasiga hamda tezlikka bog’liq qiymatdir (bu yerda nafaqat - nuqta, balki barcha ko’rilayotgan nuqtalar ajratilgan). (6.1) tenglamalar tizimi moddiy nuqtalar majmuasiga qo’llanilgan (ta’sir etuvchi) Nyutonning ikkinchi qonunining matematik ifodasidir. Tenglamalar tizimi yozilish shakliga ko’ra, ma’lumki, ikkinchi tartibli 3 N ta tenglamalardan iborat.
Agar boshlang’ich nuqtalar koordinatalari va ularning boshlang’ich vaqtdagi tezliklari ma’lum bo’lsa, u holda (1) tizim ixtiyoriy vaqtda barcha nuqtalar koordinatalari va tezliklarini topish imkoniyatini beradi, ya’ni klassik mexanikaning asosiy masalasini yechadi.
Dinamik tenglamalar tizimi inertsiya va Galiley sanoq tizimlari uchun o’rinlidir. Bu yerda moddiy nuqta erkin harakatlanadi, ya’ni nuqta biror-bir ta’siri sinalmaydi, tekis va to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanadi. Boshqacha aytganda, bu koordinatalar tizimi uchun Nyutonning birinchi qonuni o’rinlidir.
Misol sifatida to’g’ri va gorizontal tekis temir yo’lda doimiy tezlikda harakatlanayotgan poezdni keltirish mumkin. Bunda vagonning ichki silliq maydonidagi sharcha (soqqa) poezdga nisbatan tekis va to’g’ri chiziqli harakat qiladi (poezd sekinlashganda va tezlashganda, burilishda, ko’tarilish va tushish yo’llarida inersial sanoq tizimi xossalari bo’ladi). Albatta, inersial sanoq tizimi ko’pgina muhim mexanik hodisalar uchun o’rinli bo’lgan ideal tushunchadir. Inersial sanoq tizimi Erning harakatlanishida, shuningdek, poezdning Yerda harakatlanishiga hech qanday ta’sir ko’rsatmaydi (ballistik raketaning uchishida esa aniq tavsiflanmasligi mumkin).
Biror inersial tizimga nisbatan sekinlashayotgan yoki doimiy tezlikda to’g’ri chiziqli harakatlanayotgan ixtiyoriy sanoq tizimi ham inersial sanoq tizimi bo’ladi. Dastlabki tizimlardan hosil bo’lgan bunday tizimlar to’plami, quyidagi koordinata va vaqtlarning o’zgartirishi (almashtirish):
(2)
shuningdek, bunday o’zgartirishlarning ixtiyoriy kombinatsiyalari orqali aniqlanadi. Bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmas sonlar, - koordinata o’qlaridan biriga nisbatan sanoq tizimining burilish burchagi.
Galileyning nisbiylik (nazariyasi) tamoyilidan kelib chiqqan klassik mexanikasi barcha (2) inersial tizimlar ixtiyoriy inersial tizimlar bilan bir xildir. Bu tamoyil xususan fazo va vaqtning bir jinsliligini (2) dagi birinchi va ikkinchi almashtirishlar) va ajratilgan yo’nalishlardan mustasno fazoning izotropligini (uchinchi almashtirish) aks ettiradi. Inersial tizim (2) dagi so’ngi almashtirish Galiley almashtirishlari deb ataladi.
Ma’lumki, agar biror sababga ko’ra inersial sanoq tizimidagi harakatni kuzatishga to’g’ri kelsa, u holda (1) ko’rinishdagi Nyutonning ikkinchi qonuni bajarilmaydi. Agar shar (soqqa) ni markazdan uning chetiga nisbatan aylanayotgan disk (gardish) ning silliq gorizontal (eni bo’yicha) maydoniga haraktlantirilsa, u holda shar to’g’ri chiziq bo’ylab emas, aksiga egri chiziqli traektoriya bo’ylab harakatlanadi.
Murakkab bo’lmagan modifikatsiyalarga (shakl o’zgarish) nisbatan inersial bo’lmagan (1) tenglamalar tizimi va mexanikaning boshqa qonunlari o’rinli bo’ladi. Xulosa qilib aytganda, kuchlar tizimiga ta’sir etuvchi “mavhum” tashqi inertsiya kuchini oshirib borilsa, uning qiymati tanlab olingan inersial tizimga nisbatan inersial bo’lmagan sanoq tizimining harakatiga qarab aniqlanadi. Odatda dastlabki sanoq tizimi mexanikada inersial deb hisoblanadi, uni inersial bo’lmagan qismi maxsus usulda keltiriladi.
Mexanikaning o’zgarmaslik qonunlarining (2) almashtirishga bo’lgan munosabati turli ko’rinishlarda ifodalanishi mumkin. Agar yangi sanoq tizimiga o’tilsa, tenglama uchun mos qonunlar:

1. 
   tuzilishlari o’zgarmaydi,
   
2. 
   tenglamalarda shakllanuvchi koordinata, tezlik va tezlanishga bog’liq bo’lgan funksiyaning ko’rinishi o’zgarmaydi (ya’ni kuch, energiya, harakatlar miqdori va boshqa mexanik miqdorlar), u holda tenglamalar berilgan almashtirishga nisbatan invariantdir. Misol sifatida quyidagi tenglamani ko’rish mumkin:
   

(3)
ushbu tenglama ixtiyoriy (2) almashtirishda o’zgarmaydi. Saturn halqalarining tebranishini ifodalovchi:

tenglama vaqt siljishida invariant bo’ladi, biroq koordinata siljishida o’z shaklini o’zgartiradi, ya’ni tenglamaning o’ng tarafi dastlabki tenglamaga qaraganda koordinata funksiyasi ko’rinishida yoziladi. Mexanika tenglamasining (2) almashtirishdagi: 1) yo’qotish xossasi va 2) saqlash xossasi ko’rinishida yozilishi kovariant deb ataladi. (1) tenglamaning koordinata bo’yicha ifodalanishidan uning (2)almashtirishga nisbatan bevosita kovariantligi kelib chiqadi (dastlabki sanoq tizimining murakkabroq almashtirishlarda, masalan, tsilindrik va sferik koordinatalarga o’tishida, harakat tenglamasining kovariantliligi Nyuton shaklida ma’nosini yo’qotadi).

2.