Jamiyat fikrining abstraktlanish jarayoni

Lagranj shaklidagi harakat tenglamalari.

Lagranj tenglamalari - sanoq tizimining almashtirishning kengroq sinfiga nisbatan kovariant bo’lgan, Nyuton ikkinchi qonunining qulay ko’rinishidir (kovariantlik – (2)– almashtirishdagi inersial tizimlar tushuniladi). Bu tenglamalar bir vaqtning o’zida harakatda bo’lgan moddiy nuqtalardan tashkil topgan eng oddiy mexanik tizim masalasida qanday ko’rinishga ega ekanligini ko’rib chiqamiz. Dastlabki koordinatalarning inersial tizimida tenglama quyidagi ko’rinishda ifodalanadi:
. (4)
Bizga - koordinatalar almashtirishi berilgan bo’lsin, bu yerda moddiy nuqtaning yangi koordinatasi. Uning tezligi uchun va funksiyalarga bog’liq quyidagi ifodaga ega bo’lamiz, ya’ni:
. (5)
Bu yerda - nuqtaning yangi koordinatadagi tezligi (bu umumiy hollarda mavjud bo’lmagan kinematik tezlik bo’lib, o’z vaqtida o’zgarib turuvchi nuqta koordinatasining xarakteristikasidir).
Haqiqiy tezlik yangi sanoq tizimida, oldingi tezlikdan farqli o’laroq, (5) ga ko’ra - koordinata va - tezlikning funksiyasi bo’ladi, ya’ni .
Endi (5) – ifodani yangi koordinatada, oldindan ekvivalent ko’rinishida tasvirlab, - nuqta tezlanishini hisoblaymiz:
.
(5) ni - tezlik bo’yicha differensiallab quyidagi ifodani topamiz:
,
(ya’ni kvadrat qavs ichidagi ifodaning birinchi hadini almashtirish uchun). Ikkinchi ­hadi uchun (5) tenglamaga ko’ra quyidagi zanjirli tenglikka ega bo’lamiz:
.
Oxirgi ikkita tenglamadan foydalanib, so’nggi ifodaga kelamiz:
.
So’nggi natijani (6.4) ifodaga qo’yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
. (6)
Bu yerda - qiymat (4) tenglamaning o’ng tarafida turgan kuch, ammo bu yerda yangi koordinatada yozilgan ifoda - argumentlarga bog’liq, umumiy xollarda, esa - argumentlar funksiyasidir. (6) – tenglama Lagranj shaklidagi eng oddiy harakat tenglamasi bo’lib, uning chap tarafidagi differensiallash belgilari nuqtaning kinetik energiyasi hisoblanadi, o’ng tarafida esa ta’sir etuvchi kuch bilan oldingi va yangi koordinatalar o’rtasidagi munosabatni ifodalovchi - qiymat ko’paytmasi turadi.
Uch o’lchovli nuqta harakatida koordinatalar o’rniga uchta yangi koordinatalarni kiritish zarur. Bunday hollarda (6) tenglama uchun bajarilgan fikrlar takrorlanib, - sifatida navbatdagi - mos proektsiya (aks), tezlik, tezlanish va kuchlar olinadi. Quyidagi - argumentlar funksiyasini ko’rib chiqamiz va olingan ifodalarni - koordinatalar bo’yicha yozilgan Nyuton (6) tenglamasiga o’xshash uchta tenglamaga ega bo’lamiz. Masalan, ulardan birining ko’rinishi quyidagicha:
. (7)
Bu yerda - nuqtaning kinetik energiyasi. Mazkur misollardan ma’lumki, umumiy ta xarakteri uchun (prosedura) bajarish tartiblari quyidagicha: har bir nuqta uchtadan koordinatalar orqali aniqlanadi (6), (7) - tenglamalar uchun bajarilgan usullar qo’llaniladi, faqat tenglama noixcham bo’lgani uchun keltirilmaydi. Yangi koordinatalarga o’tish ixtiyoriy ravishda:
(8)
almashtirishlar orqali beriladi. Bu yerda , - qiymat umumlashgan koordinatalar, deb ataladi. Ularning umumiy soni, oldingi sanoq tizimida albatta, ga teng. Umumlashgan koordinatalarga o’tishda, ixtiyoriy oldingi (eski) koordinata umuman olganda, barcha yangi koordinatalarga bog’liq (masalan -dekart koordinatasidan - sferik koordinataga o’tish) bo’ladi. Shuning uchun (8) ifodaning o’ng taraflari barcha - qiymatlarga bog’liqligi ko’rib chiqilgan. Yangi “koordinatalar o’qi” dagi barcha vektorlar hisoblab chiqilgandan keyin (1) tenglamaning qo’yilishi va - qiymatni fikrlab - indeks bo’yicha yig’ib chiqib quyidagi Lagranjning umumiy tenglamasiga kelamiz:
. (9)
Bu yerda uchun kinetik energiya tizimi - koordinatalarda ifodalangan:

(10)
qiymatni koordinatadagi kuch “proektsiyasi” ning umumlashgan kuchlari deb tushunish mumkin ( - funksiya Lame koeffisientlari ( - orqali va vektorlarni skalyar ko’paytmasi belgilangan). 6.9 tenglamaning ko’rsatilgan izohida, Nyutonning ikkinchi qonunini o’qdagi proektsiyasi (aksi) ni tasvirlaydi.
Barcha kuchlar potensial bo’lganda, ular sezilarli darajada soddalashadi, ya’ni shunday funksiya topiladiki, unda quyidagi ko’rinish hosil bo’ladi:
.
Bu ifodalarni (10) – qiymatga olib qo’ysak, u holda shunday qiymatga ega bo’lamiz:
.
Oxirgi tenglikdagi funksiyaning eski argumentlarini yangi argumentga almashtirsak, tenglamaning o’ng tarafi argumentning “potensial”i deb ataladigan biror funksiyaning xususiy holatini ifodalaydi, ya’ni:
.
Boshqacha aytganda, agar boshlang’ich kuchlar potensial bo’lsa, u holda umumlashgan kuch ham potensial bo’lib (9), tenglama quyidagi ko’rinishni:
, (11)
(12)
hosil qiladi.
Olingan (11), (12) tenglamalarda shuni hisobga olish kerakki, funksiya ga bog’liq emas, shuning uchun bo’ladi. (11) – Lagranj tenglamasidagi - qiymat yangi koordinatalarda ifodalangan kinetik va potensial energiyalar tizimining ayirmasini bildiradi. Bunday qiymatni Lagranj funksiyasi, lagranjian yoki tizimning kinetik potensiali deb ataladi.
Nyuton tenglamasidan hosil qilingan (9), (11) tenglamalar dastlabki sanoq tizimining ixtiyoriy (8) almashtirishga nisbatan kelib chiqishiga qarab kovariant bo’ladi, unga (kiradigan) tegishli funksiyalar aniq mexanik ma’noga ega. Ularni aniq bir tizimga tadbiq etish uchun quyidagi amallarni bajarish zarur:

• 
  - erkin koordinatalarni tanlab olish kerak;
  
• 
  yangi koordinatani funksiyasi bo’lgan (6.10) umumlashgan kuchni topish kerak (agar kuch potensial bo’lsa, u holda topish shart emas);
  
• 
  yangi koordinatalarda - kinetik va - potensial energiyalarni ifodalab, (12) – lagranjianni topish kerak (potensial kuchlar bo’lgan holda).
  

Topilgan ifodani (9) va (11) tenglamalarga olib borib qo’yish kerak.
Bunday standart (prosedura) amalda Lagranj rasmiyligi (Lagranj formalizmi) deb ataladi. Uni amalga oshirib bo’lgach, tizim koordinatalar uchun ikkinchi tartibli differensial tenglama hosil bo’ladi, har doim ikkinchi tartibli hosilasi
(13)
ga nisbatan yechimga ega.
Agar boshlang’ich qiymatlar ma’lum bo’lsa, u holda (13) tenglama ixtiyoriy vaqtda tizim harakatini ifodalab beradi, ya’ni mexanikaning asosiy masalasini yechish imkonini beradi. Lagranj usulining afzallik tomoni ko’pgina murakkab mexanik qurilmalar (masalan, robotlashtirilgan texnik tizimlar) harakatini, ixtiyoriy sanoq tizimlarini oddiy matematik usullarda ifodalashda o’xshashliligidadir (kovariant). Shuni aytish kerakki (1) tenglama, (8) almashtirishga nisbatan kovariant, ya’ni o’xshash ifodalangan. Biroq ular yuqori tartibda hosilalarga nisbatan o’rinli emas va oddiy mexanik ma’noga ega bo’lmagan, ko’proq yangi koordinatalarning funksiyalarini ((9) tenglama bilan taqqoslaganda) o’z ichiga oladi. Yana uning bir rasmiy ko’rinishdagi afzallik tomoni - mexanik bog’lanish tizimlarini o’rganishda qo’l keladi (barcha yuqoridagi mulohazalarni soddalashtirish uchun keng tizimlar qaralgan). Bog’lanishlar (munosabatlar) bevosita o’ziga aloqador bo’lmagan, mavjud ma’lumotlar ob’ektlarini, aniq chegeralangan nuqtalar tizimining harakatlariga ustma-ust qo’yadi. Misol sifatida, qattiq sirtda harakati chegaralangan sharcha (soqqa)ni yoki ikki nuqtali og’irlikni bog’lovchi, juda engil qattiq sterjenni va shu kabilarni olish mumkin.
Bog’lanishlar (1) Nyuton tenglamasining yechimini qanoatlantiruvchi - ko’rinishdagi - munosabatlar to’plamidan iborat. Bunday hollarda (1) Nyuton tenglamasining o’ng tarafidagi - qiymat o’rniga - qiymatni qo’yib (bog’lanishning harakteri haqida ba’zi bir taxminlarda) ko’rinishi o’zgartiriladi. - kuch bog’lanish reaksiyasi (aks ta’siri) ning ba’zi mulohazalaridan hisoblab chiqiladi. Shuning uchun erkin tizimga nisbatan, erkin bo’lmagan tizimni Nyuton usuli yordamida ifodalashda sezilarli darajada qiyinlashishi mumkin.
Lagranj usulida esa, bog’lanish reaksiyasi - funksiyaning juda keng sinfi uchun avtomatik ravishda hisobga olinadi, natijada (6.10) kuch - qiymatni o’z ichiga olmaydi (Lagranj tenglamasini erkin tizimlarda olinish tartibi to’la o’xshash). Ko’pincha Lagranj tenglamasining soni - erkinlik darajasining miqdoriga teng, balki bog’lanishsiz tizimlar uchun kamroq ahamiyatga ega bo’lishi mumkin. Yangi erkin - koordinatalar soni ham tabiiy ga teng.
Demak, Lagranj tenglamasi Nyuton tenglamasidan kelib chiqadi va aksincha (2-mashq). Shunday ekan, Lagranjga yondashish xuddi Nyutonga yondashishdir, balki bu mexanik asoslardagi taxmindir.

3.