TeylorformulasiningLagranjko‘rinishdagiqoldiqhadi. Teylor formulasi qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan funksiya nuqta atrofida –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi funksiyani kiritamiz. Ravshanki,
Ushbu
va
funksiyalargaKoshiteoremasinitatbiqqilamiz. Bunda
e’tiborgaolib, quyidaginitopamiz:
Buyerda
Shunday qilib, biz
ekanliginiko‘rsatdik, buyerda
. Endi
ekanliginie’tiborgaolsakquyidagiformulagaegabo‘lamiz:
(2.1)
bu (2.1) formulani Teylor formulasining Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi.3 Lagranj ko’rinishdagi qoldiq hadni
(2.2)
ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu yerda birdan kichik
bo‘lgan musbat son, ya’ni .
Shundayqilib, funksiyaningLagranjko’rinishidagi qoldiqhadliTeylorformulasiquyidagishakldayoziladi:
bu yerda . Agar bo‘lsa, u holda
bu yerda , bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
(2.3)
shaklida yoziladi.
Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko`rinishlariga misol tariqasida Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun
yordamchi funksiyani tuzib olamiz va segmentda uzluksiz, intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo`lgan biror funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llasak,
(3.1)
ko`rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.1) formulada funksiya sifatida funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz:
