Karrali xosmas integralning ta’rifi

BOSHLANG‘ICH TUSHUNCHALAR
1.1-§. Chegarasi cheksiz xosmas integral va ularni hisoblash

Biror funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, uning istalgan qismida integrallanuvchi bo‘lsin, ya’ni mavjud bo‘lsin. U holda bo‘lib, funksiyaga ega bo‘lamiz:

= . (1)
limit mavjud bo‘lsa, bu limit funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u
(2)
ko‘rinishda belgilanadi. Demak,
(3)
1.1.1-ta’rif: Agar limit mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (3) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. oraliqda integrallanuvchi funksiya deyiladi .
Agar limit cheksiz bo‘lsa, (3) integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Funksiyaning va oraliqlar bo‘yicha xosmas integrallari ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi va mos ravishda va ko‘rinishda belgilanadi.
Bu xosmas integrallar uchun yuqorida aytilganlarni umumlashtirsak, quyidagi munosabatlar o‘rinli bo‘ladi:
= (4)
= (5)
Chegaralari cheksiz bo‘lgan , , oraliqlarda berilgan funksiyaning (3), (4), (5) ko‘rinishdagi xosmas integrallari I-tur xosmas integrallar deb ataladi, I-tur xorsmas integrallarni , va limitlari mavjud bo‘lib, ular chekli bo‘lgan holda yaqinlashuvchi, limitlar cheksiz bo‘lsa, uzoqlashuvchi deb ta’rifladik. Ma’lumki, ( va ) ning dagi limiti mavjud bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holda shartli ravishda funksiyaning xosmas integrali ni uzoqlashuvchi deb qabul qilamiz
Ko‘riladiki, xosmas integral tushunchasi biz o‘rgangan Riman integralidan yana bir marta limitga o‘tish orqali hosil qilinar ekan.
1-misol
2-misol .


Yaqinlashuvchi xosmas integrallarning xossalari . oraliqda berilgan bo‘lsin.
1. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha. Bunda
(6)
bo‘ladi.
2. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,quyidagicha bo’ladi.
(7)
3.Agar da bo’lsa
bo’ladi. (8)
4. Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va
= (9)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
5. Agar uchun bo‘lib va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
 (10)
bo‘ladi.
6. O‘rta qiymat haqidagi teorema. va funksiyalar oraliqda berilgan bo‘lsin. Shuningdek bo‘lib, funksiyaning da ishorasini o‘zgartirmasin.