1.1.1-teorema. Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda shundan o‘zgarmas son topiladiki, (11) tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik uchun 0 bo‘lsin. U holda ga ko‘ra
bo‘ladi. Buni oraliq bo‘yicha integrallab,
ni hosil qilamiz. So‘ngra da limitga o‘tamiz:
(*)
Agar bo‘lsa, u holda
bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi deb ixtiyriy sonni olish mumkin.
Agar bo‘lsa, unda (*) munosabatdan
hosil bo‘ladi.
Bu erda deb olsak,
kelib chiqadi.
oraliqda 0 bo‘lganda ham bu teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi.
1.1.2-teorema. integralning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun da , , bo‘lishi zarur va yetarli. Bu teorema xosmas integralning yaqinlashuvchilik kriteriysi deb ataladi. Natija. Agar yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Ixtiyoriy funksiya xosmas integralning yaqinlashuvchiligi quyidagi teoremada o‘z ifodasini topgan.
1.1.3-teorema. xosmas integralning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, son olingandan ham soni topilib bo‘lgan lar uchun (12) tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 1.1.2-ta’rif: Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda absolyut yaqinlashuvchi, integral deb ataladi. funksiya esa oralikda absolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi. 1.1.3-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo’lib integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
