Karrali xosmas integralning ta’rifi

Dirixle alomati. va funksiyalar oraliqda berilgan bo‘lib, ular quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya oralikda uzluksiz va uning shu oralikdagi boshlang‘ich funksiyasi chegarlangan:
2) funksiya oralikda hosilaga ega va u uzluksiz funksiya.
3) funksiya da kamayuvchi;
4)
U holda integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. va funksiyalar oraliqda uzluksiz, ularning ko‘paytmasi  ham shu oraliqda uzluksiz . Demak,  funksiya istalgan ( ) oraliqda integrallanuvchi deyiladi, ya’ni
(13)
integral mavjud. Bu integralni bo‘laklab hisoblaylik:
(14)
Bu erda . Agar ekanligini e’tiborga olsak, bo‘ladi.
Endi ko‘raylik. Teorema shartiga ko‘ra funksiya oraliqda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu oraliqda kamayuvchi ekanligidan da bo‘ladi. Bunga ko‘ra
bo‘ladi. Demak, ning barcha qiymatlarida integral yuqoridan chegaralangan bo‘lib, yaqinlashuvchilik kriteriysiga ko‘ra integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan limitning mavjudligi va chekliligi kelib chiqadi. (2) tenglikda da limitga o‘tamiz: limit mavjud va chekli bo‘lib, bu ni yaqinlashuvchiligini isbotlaydi.
3-misol. Bu erda , bu funksiyalar Dirixle alomatidagi barcha shartlarni qanoatlantiradi, demak bu integral yaqinlashuvchi.
2. I-tur xosmas integrallarni hisoblashni ko‘ramiz. Yaqinlashuvchi xosmas integralni hisoblash talab qilinadi.
a) Nyuton-Leybnist formulasi. funksiya oraliqda uzluksiz vash u boshlang‘ich funksiyaga ega deb faraz qilaylik. Agar limit mavjud va chekli bo‘lsa, uni ning + dagi = qiymati deb qabul qilamiz. Xosmas integral ta’rifi va Nyuton-Leybnist formulasiga ko‘ra quyidagini topamiz:
(15)
Bundan funksiya xosmas integral uchun Nyuton-Leybnist formulasi o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.