Kokanduni uz

Proposition 4.1.
[6, Proposition 3, paragraph 3]. Let A be a Rickart *-ring and 
x
A

. 
There exists a unique projection 
e
such that (1) 
xe
x
=
, and (2) 
0
xy
=
iff 
0
ey
=
. Similarly, 
there exists a unique projection 
f
such that (3) 
fx
x
=
, and (4) 
0
yx
=
iff 
0
yf
=
. Explicitly, 
({ })
(1
)
R
x
e A
=
−
and 
({ })
(1
)
L
x
A
f
=
−
. The projections 
e
and 
f
are minimal in the 
properties (1) and (3), respectively. We write 
( )
e
RP x
=
, 
( )
f
LP x
=
, called the right 
projection and the left projection of 
x
. 
It is known that any C*-algebra can be isomorphically embedded into some 
(
)
B H
. 
Namely, there is an isomorphism of a C*-algebra onto a uniformly closed C*-subalgebra in 
(
)
B H
, for some complex Hilbert space 
H
. On the other hand, if 
(
)
A
B H

be a real C*-
algebra, then it is also known that there is a real Hilbert space 
r
H
with 
,
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
r
H
H
H
A
B H
B H
iB H
B H
i


+
=
+
=
. 
Proposition 4.2.
The real C*-algebra 
(
)
r
B H
is a Rickart real C*-algebra. Explicitly, if 
(
)
r
x
B H

then 
( )
LP x
is the projection on the closure of the range of 
x
, and 
1
( )
RP x
−
is the 
projection on the null space of 
x
(i.e. 
1
( )
* (
)
r
RP x
x
H
⊥
−

). 
If A is a Rickart *-ring and B is a *-subring of A, then B need not be a Rickart *-ring: an 
obvious example is when B has no unity element (it's obvious that a Rickart *-ring always has 
a unity element), but adjoining a unity element may not be a remedy (we will show it below). 
There is, nevertheless, a useful positive result. 

---

43
www.
kokanduni.uz 
Proposition 4.3.
[6, Proposition 8, paragraph 3]. Let A he a Rickart *-ring and let B be a 
*-subring such that (1) B has a unity element, and (2) 
x
B

implies 
( )
RP x
B

. Then B is also 
a Rickart *-ring. 
Theorem 4.1.
There exists a Rickart real C*-algebra whose projection lattice is not 
complete. 
Definition 4.1.
A Bear *-ring is a *-ring A such that, for every nonempty subset
S
A

, 
( )
R S
gA
=
for a suitable projection 
g
. It follows that 
( )
( *)*
(
)*
L S
R S
hA
Ah
=
=
=
for a 
suitable projection 
h
. 
The relation between Rickart *-rings and Baer *-rings is the relation between lattices 
and complete lattices: 
Proposition 4.4.
[6, Proposition 1, paragraph 4]. The following conditions on a *-ring A 
are equivalent: 
(a) A is a Baer *-ring; 
(b) A is a Rickart *-ring whose projections form a complete lattice; 
(c) A is a Rickart *-ring in which every orthogonal family of projections has a supremum. 
Definition 4.2. 
A (complex) C*-algebra that is a Bear *-ring will be called a AW*-algebra. 
A real C*-algebra that is a Bear *-ring will be called a real AW*-algebra. 
By Theorem 4.1 and Proposition 4.4 we obtain 
Corollary 4.1. 
A real AW*-algebra is a Rickart real C*-algebra, but the converse is not 
true, i.e., a Rickart real C*-algebra doesn't need to be a real AW*-algebra. 
Corollary 4.2. 
The algebra B from the Example above is a Rickart real C*-algebra, but by 
Theorem 3.1 it is not a real W*-algebra. 
References: 
1.
C.E. Rickart, Banuch algebras with an adjoint operation. Ann. of Math. (2) 47, (1946), 
528-550. 
2.
I. Kaplansky, Projections in Banach u/(jehra.s. Ann. of Math. (2) 53, (1951), 235-249. 
3.
I. Kaplansky, Algebras of type I. Ann. of. Math. (2) 56, (1952), 460-472. 
4.
I. Kaplansky, Modules over operator algebras. Amer. J. Math. 75, (1953), 839-858. 
5.
B.-R. Li, Real operator algebras. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (2003), 241p. 
6.
S.K. Berberian, Baer *-rings. Springer-Verlag, Berlin
–
Heidelberg
–
N.Y. 1972. 
7.
Sh.A. Ayupov, A.A. Rakhimov, Real W*-algebras, Actions of groups and Index theory 
for real factors. VDM Publishing House Ltd. Beau-Bassin, Mauritius. ISBN 978-3-639-29066-0, 
(2010), 138p. 
8.
Sh.A. Ayupov, A.A. Rakhimov, Sh. M. Usmanov, Jordan, Real and Lie Structures in 
Operator Algebras. Kluwer Academic Publishers, MAIA, Vol.418, (1997), 235p. DOI:10.1112/ 
S0024609398305457. 

---

44