Kompyuter geometriyasi va grafikasi”

Tekislikdagi almashtirishlar.
Ikki o‘lchovli barcha narsalarni kompyuter grafikasida 2D (2-dimension) belgisi bilan ifodalash (kiritilgan) qabul kilingan.
Faraz qilamizki tekislikda to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasi kiritilgan(berilgan) bo‘lsin. Unda xar kanday M nuktaning koordinatasini aniqlash uchun ikki juft (x,u) sonlari olinadi.
Ushbu tekislikda yana bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasini kiritgan holda M nukta uchun yangi mos juft (x’,y’) kordinatalarni hosil qilamiz. Tekislikda bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasidan boshqasiga o‘tish quyidagi tenglamalar orqali amalga oshiriladi:

Bu erda α, β, γ, σ, λ, μ - ixtiyoriy sonlar.
Boshqa tomondan qaraganda, agar biz nuqta o‘zgarib koordinatalar sistemasi o‘zgarmas deb qabul qilsak, u holda (1) formulalar M(x,u) nuqtani M’(x’,y’) nuqtaga almashtirishini ifodalaydi (1-rasm).

(1) formulalarni nuqtani almashtirishni ifodalaydi deb qabul qilamiz.
Almashtirish formulalaridagi kooeffitsentlarning geometrik ma’nosini o‘rganish uchun berilgan koordinatalar sistemasini to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi deb hisoblash qulay. Ikki o‘lchovli almashtirishlarning xususiy hollarini ko‘ramiz.
Ko‘chirish.
M (x,u) nuktani M’(x’, y’) nuktaga kuchirish berilgan λ va μ kuchirish konstantalari vektorining koordinatalariga kushish orkali amalga oshiriladi.

Masshtabni o‘zgartirish. Cho‘zish (siqish).
Koordinatalar o‘qlari bo‘yicha cho‘zish (yoki siqish) ko‘paytirish orqali ifodalanadi:

α>0, δ>0 mos X va Y o‘qlari bo‘yicha cho‘zish va siqish.
Agar α>1, δ>1 bo‘lsa koordinata o‘qlari bo‘yicha cho‘zish va α<1, δ<1 bo‘lsa, siqish ta’minlanadi.
Cho‘zish (siqish) almashtirishlarini matritsa shaklida kuyidagicha yozish mumkin:

Burish.
Burish quyidagi formula orqali beriladi:

Bu erda koordinatalar sistemasining boshlang‘ich nuqtasi bo‘ylab soat strelkasiga teskari φ burchakka burish bajariladi.
Matritsa shaklda burishni quydagicha yozish mumkin:

Akslantirish.
Akslantirish (abssissa o‘qiga nisbatan) quyidagicha ifodalanadi

Matritsa shaklida esa

Ordinata ukiga nisbatan akslantirish kuyidagicha ifodalanadi

Matritsa shaklida

Almashtirishlarni yukoridagi kurilgan 4-ta xususiy xolidan maksad:

• 
  har qaysi almashtirish oddiy va tushunarli geometrik ma’noga ega.
  
• 
  ixtiyoriy almashtirishni ularni ketma-ket bajarish(superpozitsiya) orqali ifodalash mumkin.
  

Ammo keyingi masalalarni ko‘rish uchun to‘rtta oddiy almashtirishlarni ham (ko‘chirishni hisobga olgan holda) matritsa shaklida ifodalash lozim(kerak).