Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari

Mavzuga doir misollar yechish.
1-misol. Quyidagi funksiyalarning xususiy hosilalarini toping:
, , .
Yechish:
,
,
, , , ,
.
2-misol. funksiyaning hususiy hosilalarini toping.
Yechish: Ushbu ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilalari quyidagicha topiladi:
,
.
3-misol. funksiyaning 2-tartibli hususiy hosilalarini toping.
Yechish: Ushbu ikki o’zgaruvchili funksiyaning 2-tartibli hususiy hosilalari quyidagicha topiladi:
, ,
, ,
, .
Guvohi bo’lganingizdek har doim tenglik bajariladi.
Faraz qilaylik, tekislikdagi biror to‘plamda ( ) funksiya berilgan bo‘lib,



bo‘lsin. Ushbu






ayirmalar mos ravishda funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha hamda  o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
Ravshanki, berilgan funksiya va berilgan nuqtada xususiy orttirma ga, xususiy orttirma esa ga bog‘liq bo‘ladi.

1- ta’rif

1- ta’rif.



Agar




limiti mavjud bo‘lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi  o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va yoki
kabi belgilanadi:



Agar



limiti mavjud bo‘lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi:



Keltirilganta’rifdanko‘rinadiki, funksiyaning o‘zgaruvchisi bo‘yicha hosila qaralganda ni o‘zgarmas; o‘zgaruvchisi bo‘yicha hosila qolganida esa ni o‘zgarmas deyilar ekan. Bu esa funksiyaning xususiy hosilalari o‘rganilgan bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasi ekanligini bildiradi. Demak, funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblashda bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasining hisoblashdagi ma'lum bo‘lgan qoida va jadballardan to‘liq foydalanish mumkin.

1-Misol.
Quyidagi funksiyaning xususiy hosilalari hisoblansin:
1) .

Yechish


2) .

Yechish




3)


Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda ( ) berilgan bo‘lib, nuqtada , xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Aytaylik, bu funksiyaning grafigi biror sirtni ifodalasin.Bu sirt bilan va tekisliklarning kesisishi natijasida va egri chiziqlarga nuqtada o‘tqazilgan urinmalarning burchak koeffitsientlari bo‘ladi.

3-teorema.

Agar funksiya nuqtaning biror atrofida , xususiy hosilalariga ega bo‘lib, bu xususiy xosilalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada differensialanuvchi bo‘ladi.