Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning differensiali. Taqribiy formula
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Unda ta’rifga ko‘ra funksiyaning nuqtadagi orttirmasi


(1)
bo‘ladi, bunda da

_1-ta’rif.
funksiyaning orttirmasidan



ifoda funksiyaning nuqtadagi differensial (to‘liq differensialli) deyiladi va kabi belgilanadi:



Demak, funksiyaning nuqtadagi diferrensialli va larga bog‘liq bo‘lib, ularning chiziqli funksiyasi bo‘ladi.
Erkli o‘zgaruvchilar va larning va orttirmalarini ularning differensiallariga almashtirib , keyingi tenglikni quiydagicha yozamiz:


(2)

2-misol
Ushbu

funksiyaning differensiali topilsin.

_Yechish
Berilgan funksiyaning xususiy hosilalrini topamiz:

Unda funksiyaning differensiali

bo‘ladi.
Aytaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda

₁₎


2)


3)


bo‘ladi.
Faraz qilaylik,
(3)
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda bu funksiya tasvirlagan sirt nuqtada urinma tekislikka ega bo‘lib, uning tenglamasi quiydagicha



bo‘ladi.
Ma’lumki, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa,



bo‘lar edi. Keyingi ikki tenglikdan topamiz:



Shunday qilib, funksiyaning nuqtadagi differensiali bu funksiya grafigi nuqtasida o‘tkazilgan urinma tekislik applikatasining orttirmasining ifodalar ekan .
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Unda



bo‘ladi. Bu tenglikdan



bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, va lar yetarligicha kichik bo‘lganda



bo‘ladi. Bu taqribiy formulaning mohiyati shundaki, funksiyaning orttirmasi , larni umuman aytganda murrakab funksiyasi bo‘lgan holda funksiyaning differensiali , larning chiziqli funksiyasi bo‘lishidadir.
Keltirilgan taqribiy formulani quiydagicha


(4)
ham yozsa bo‘ladi.
Xususan, bo‘lganda


bo‘ladi.

1-Misol
Ushbu miqdor taqribiy hisoblansin. ([2], 164-b.)

_Yechish
 Bu miqdorni



funksiyaning , bo‘lgan nuqtadagi umumiyligi deb qarash mumkin.
nuqta sifatida nuqtani olib,(ya’ni , ) bu nuqta funksiya va uning xususiy hosilalarining qiymatini hisoblaymiz:
; , ,
,
taqribiy formuladan foydalanib topamiz:

Demak,

1