Kriptografik usullar

5.2.1-Misol. 10 modul bo’yicha chegirmalar to’la sistemasining uchta turini yozing.
Yechilishi. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan chegirmalarning to’la sistemasi.
-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 – 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik manfiy chegirmalarning to’la sistemasi.
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 yoki –5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 – 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to’la sistemasi.
5.2.2-Misol. 10 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasining uchta turini yozing.
Yechilishi. 1, 3, 7, 9 – 10 modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
-9, -7, -3, -1 – 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik manfiy
chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
-3, -1, 1, 3 chegirmalar 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
5.2.3-Misol. 20, -4, 22, 18, -1 sonlar qanday modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasini tashkil etadi?
Yechilishi. 5 modul bo’yicha berilgan sonlar mos ravishda 0, 1, 2, 3, 4 sonlar bilan taqqoslanadi, shuning uchun izlanayotgan modul 5 ga teng.
5.2.4-Misol. 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, 3⁶ sonlar sistemasi 7 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etishini ko’rsating.
Yechilishi. Berilgan sonlardan eng kichik musbat chegirmalarni tuzamiz:
3, 2, 6, 4, 5, 1, chunki 3¹ ≡3 (mod 7), 3² ≡2 (mod 7), 3³ ≡6 (mod 7), 3⁴ ≡4 (mod7), 3⁵ ≡5 (mod7), 3⁶ ≡1 (mod 7).
5.2.5-Misol. 383¹⁷⁵ ni 45 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqni toping.
Yechilishi. 383 ≡23 (mod 45) bo’lganligi uchun 383¹⁷⁵ ≡23¹⁷⁵ (mod 45). Endi
φ (45) = 24 va (23, 45) = 1 dan Eyler teoremasiga ko’ra:
23²⁴ ≡1 (mod 45) ni hosil qilamiz. Demak,
23¹⁷⁵ = 23^{24∙7 + 7} = (23²⁴)⁷ ⋅23⁷ ≡1⁷⋅23⁷ (mod 45).
Shu taxlitda davom etib, 23⁷ = (23²)³⋅23 ≡34³ ⋅23 = 34² ⋅34 ⋅23 ≡1156 ⋅782 ≡31⋅17 = 527 ≡32 (mod 45) ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, 383¹⁷⁵ ≡32 (mod 45). Izlanayotgan qoldiq 32 dan iborat.