Кучланиш ва дифференциаллар

 
3.2. Mustaqil ish №1.
Jism nuqtasida kuchlanganlik holatini aniqlash 
 
Topshiriqni bajarish namunasi 
 
3.1-Masala. 
Kuchlanishlarning qiymatlalari quyidagicha 
x

=-300 
MPa;
y

=360; 
z

=-180; 
xy

=270; 
yz

=360;
zx

=540 berilganda 
quyidagilarni aniqlang: 
1.
Berilgan kuchlanishlar ishorasini hisobga olgan holda yo‘nalishlarini 
rasmda tasvirlang. 
2.
Bosh kuchlanishlarni aniqlang va to‘g‘iriligini tekshiring. 
3.
Bosh tekislik holatini (bu tekislik normali yo‘naltiruvchi kosinuslarini 
aniqlang). 
4.
Rasmda normal va bosh tekisliklarni tasvirlang. 
 
Topshiriqni bajarish tartibi: 
1. Kuchlanishlar yo‘nalishlari quyidagi 3.2-rasmda tasvirlangan. 
2. Bosh kuchlanishlar qiymatini aniqlaymiz. 
Kuchlanganlik holati invariantlarini (3.4) formulalar yordamida 
aniqlaymiz: 
);
(
120
180
360
300
1
МПа
I
z
y
x












).
(
10
442
,
72
270
)
180
(
540
360
360
)
300
(
540
360
270
2
)
180
(
360
)
300
(
2
);
(
10
29
,
61
540
360
270
)
300
)(
180
(
)
180
(
360
360
300
3
6
2
2
2
2
2
2
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
МПа
I
МПа
I
xy
z
zx
y
yz
x
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x




































































---

16 
Endi (3.3) kubik tenglama yechimlari bosh kuchlanishlar. 
3
2
1
,
,



ni 
topamiz. Buning uchun quyidagi parametrlarni aniqlaymiz. 





















3
4
3
3
1
2
1
2
4
2
4
2
1
2
)
120
(
27
2
)
10
29
,
61
(
)
120
(
3
1
27
2
3
);
(
10
67
,
61
3
)
120
(
10
29
,
61
3
I
I
I
I
q
МПа
I
I
p
.
0
1
75
).
(
2564
.
0
)
534
,
4
(
2
10
796
,
47
2
cos
).
(
10
534
,
4
10
67
,
61
5774
,
0
5774
,
0
).
(
10
796
,
47
10
442
,
72
3
6
3
2
4
3
6
6


























рад
r
q
МПа
p
r
МПа
Eslatma
: 

cos
ni aniqlashda 
r
ning ishorasi 
q
ishorasi bilan bir xil 
olinadi. 
Bosh 
kuchlanishlar 
quyidagi 
tenglama ildizlari bo‘ladi.
0
3
2
2
1
3




I
I
I



;
,
0
3



q
py
y
Bularni 

parametr orqali yozamiz: 
3.2-rasm 
);
(
47
,
821
9059
,
0
10
066
,
9
3
0
1
75
cos
)
10
534
,
4
(
2
3
cos
2
2
2
1
МPа
r
y
















);
(
3
,
743
3
25
60
cos
)
10
534
,
4
(
2
3
60
cos
2
2
2
МPа
r
y






















).
(
16
,
78
3
25
60
cos
)
10
534
,
4
(
2
3
60
cos
2
2
3
МPа
r
y




















Ildizlarni tekshiramiz: 
.
0
16
,
78
3
,
743
47
,
821
;
0
3
2
1






y
y
y
Bosh kuchlanishlarni quyidagi formulalardan topiladi: 
.
3
,
2
,
1
,
3
1



i
I
y
i
i


---

17 
);
(
3
,
783
40
3
,
743
);
(
47
,
781
3
120
47
,
821
2
1
МПа
МПа










).
(
16
,
118
40
18
,
78
3
МПа





Bosh kuchlanishlarni 
3
2
1





tartib bo‘yicha yozamiz : 
).
(
3
,
783
);
(
16
,
118
);
(
47
,
781
3
2
1
МПа
МПа
МПа








Bosh kuchlanishlar qiymatlarini tekshiramiz. 
).
(
10
4
,
72
)
3
,
783
(
)
16
,
118
(
47
,
781
);
(
10
20
,
61
47
,
781
)
3
,
783
(
)
3
,
783
)(
16
,
118
(
)
16
,
118
(
47
,
781
);
(
120
3
,
783
16
,
118
47
,
781
3
6
3
2
1
3
2
4
1
3
3
2
2
1
2
3
2
1
1
МPа
I
МPа
I
МPа
I














































3. Bosh tekislikning holati uning normali yo‘naltiruvchi kosinuslari 
qiymatilari bilan aniqlanadi. Bosh tekislik normali yo‘naltiruvchi 
kosinuslarini bizga ma’lum quyidagi munosabatlardan aniqlaymiz: 
;
)
)(
(
)
)(
(
2
xy
i
y
i
x
yz
xy
xz
i
y
i
i
n



















.
3
,
2
,
1
,
)
)(
(
)
)(
(
2









i
n
m
xy
i
y
i
x
xz
yx
yz
i
x
i
i










2
2
2
/
1
)
/
(
)
/
(
i
i
i
n
n
m
n



Masalan, 
1

kuchlanish bosh tekisligi holati 
i

o‘rniga 
1

ni qo‘yib 
hisoblaymiz: 
.
397
,
1
10
291
,
38
10
513
,
53
10
291
,
38
540
270
)
360
)(
47
,
781
300
(
;
8482
,
0
10
291
,
38
10
479
,
32
)
270
(
)
47
,
781
360
)(
47
,
781
300
(
360
270
)
540
)(
47
,
781
360
(
4
4
4
1
1
4
4
2
1
1
























n
m
n

.
7291
,
0
;
397
,
1
5219
,
0
;
4427
,
0
8482
,
0
5219
,
0
;
8482
,
0
5219
,
0
;
5219
,
0
671
,
3
1
;
/
1
)
397
,
1
(
)
8482
,
0
(
1
1
1
1
1
2
1
2
2

















m
m
n
n


Tekshirish: 

---

18 
.
0
)
(
1
1
1
1





n
m
z
zy
zx





.
0
5219
,
0
)
47
,
781
180
(
7291
,
0
360
4427
,
0
540








Topilgan yo‘naltiruvchi kosinuslarning qiymatlari yordamida birinchi 
bosh tekislik va uning K nuqtasiga o‘tkazilgan normalni quyidagi rasmda 
tasvirlaymiz. 
3.3-rasm 
3.2.Masala
. O‘lchamlari 
10

AB
sm, 
7

BC
sm uchburchakli plastinka 
(3.4-rasm) tomonlaridagi ko‘rsatilgan kuchlanishlar MPa da berilgan. 
Plastinka muvozanatda bo‘lishi uchun yetishmayotgan kuchlanishlarni 
toping: plastinka mustahkamligini tekshiring; plastinka deformasiyasini 
aniqlang; plastinka uchlari ko‘chishlarini toping.
Puasson koeffitsiyenti 
3
,
0

v
, elastiklik moduli 
2

E
GPa.
Yechish
.
1. 3.4-rasmda berilgan kuchlanishlarning ishorasi mos yo‘nalishlari 
bo‘yicha plastinka tomonlariga quyidagicha olamiz. 
6


y

MPa, 
5


xy

MPa, 
2



MPa. Juftlar qonuniga ko‘ra 
yx
xy



. 
Noma’lum kuchlanishlar 
x

yuzagacha 
urinma 

va 
x

normal kuchlanishlar 
hisoblanadi. 
Bu 
kuchlanish 
vektorlari 
yo‘nalishlari musbat ifodalangan.
2. Noma’lum kuchlanishlarni hisoblay-
miz. Plastinka chetki tomonlari yuzalarini 
3.4 – rasm. 

---

19 
topamiz: 
t
F
BC


7
, 
t
F
AB


10
, 
t
t
F
AC
21
,
12
10
7
2
2



, bu yerda 
t
- 
plastinka qalinligi, 
yx
xy



ekanligini hisoblagan holda muvozanat 
tenglamalarini tuzamiz: 
0
sin
cos













AC
AC
AB
yx
BC
x
k
F
F
F
F
X






,
0
cos
sin













AC
AC
BC
xy
AB
y
k
F
F
F
F
Y






.
Bu yerda

cos
AC
BC

, 

sin
AC
AB

,
82
,
0
21
,
12
/
10
10
7
/
10
sin
2
2





,
57
,
0
21
,
12
/
7
cos



,
u holda tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga keladi. Ushbu 
0
57
,
0
82
,
0
2
57
,
0
5
82
,
0
6
,
05
82
,
0
57
,
0
2
82
,
0
5
57
,
0
























k
x
k
Y
X
tenglamalar sistemasini yechamiz. 
71
,
10



MPa, 
45
,
20

x

MPa.
3. Bosh kuchlanishlarni aniqlaymiz:
36
,
21
4
/
)
(
2
/
)
(
2
2
max






xy
y
x
y
x






MPa,
91
,
6
4
/
)
(
2
/
)
(
2
2
min







xy
y
x
y
x






MPa.
4. Maksimal va minimal urinma kuchlanishlarni quyidagicha topamiz:
14
,
14
)
91
,
6
36
,
21
(
2
1
)
(
2
1
min
max
max








MPa,
14
,
14
max
min






MPa.
5. Bosh uchning og‘ish burchagini quyidagicha hisoblaymiz : 
18
,
0
5
45
,
20
36
,
21
)
(
max
max







xy
x
tg




, 
bundan 
0
max
36
,
10



.
6. Bosh kuchlanishlarni aniqlaymiz:
3
2
1





, 
36
,
21
1


MPa, 
0
2


, 
91
,
6
1



MPa. 
7. Plastinkada deformasiyalarni hisoblaymiz. Guk qonunidan nisbiy 
bosh deformasiyalarni topamiz, ya’ni 
1
x

, 
1
y

o‘qlar bo‘yicha, burilish 

---

20 
burchagi 
max

larni, Yung moduli 
3
10
2


E
MPa va Puasson 
koeffitsiyenti 
3
,
0

v
ekanligini hisobga olsak, u holda
4
3
min
max
max
1
10
18
,
117
10
2
3
,
0
91
,
6
36
,
21










E
v
x




,
4
3
max
min
min
1
10
61
,
66
10
2
36
,
21
91
,
6











E
v
y




,
4
3
min
max
10
67
,
21
10
2
91
,
6
36
,
21
3
,
0











E
v
z



. 
Hajmiy deformasiya esa 
4
1
1
10
9
,
28
/







z
y
x
V
V



.
8. Berilgan kuchlanish holatida plastinka shaklini o‘zgarishini 
ifodalaymiz. Uchburchak uchlarining o‘qlar bo‘yicha ko‘chishlarini 
og‘irlik markazidan bog‘liq hisoblaymiz. Uchlarning markaziy o‘q 
xy
larning 
max

o‘zgarishidagi 
1
1
y
x
holati quyidagicha hisoblanadi.
.
sin
cos
,
sin
cos
max
max
1
max
max
1




x
y
y
y
x
x




Og‘irlik 
markazi 
koordinatalarini 
nolga 
tenglik 
shartidan 
3
/
)
(
0
0
C
B
A
x
x
x
x




dan 
33
,
3


B
x
sm ni topamiz. Xuddi shunday 
7


B
C
y
y
va 
B
A
y
y

tenglamalardan 
3
/
)
(
0
0
C
B
A
y
y
y
y




ekanligida 
33
,
2


A
y
sm topiladi. Natijalarni jadvalda keltiramiz: 
x
y
1
x
1
y
A
6,67 
-2,33 
6,98 
-1,10 
B
-3,33 
-2,33 
-2,86 
-2,90 
C
-3,33 
4,67 
-4,12 
4,00 
Yuqoridagi 
formulalardagi 
trigonometrik 
funksiya 
qiymatlari 
98
,
0
cos
max


, 
18
,
0
sin
max



teng bo‘ladi.
9. 
Uchlarning 
ko‘chishlarini 
topilgan 
deformasiyalar 
orqali 
aniqlaymiz: 
3
4
1
1
1
10
76
,
81
10
18
,
117
98
,
6









x
A
A
x
x

sm,
3
4
1
1
1
10
3
,
7
10
61
,
66
1
,
1









y
A
A
y
y

sm,

---

21 
3
4
1
1
1
10
5
,
33
10
18
,
117
86
,
2











x
B
B
x
x

sm, 
3
4
1
1
1
10
28
,
19
10
61
,
66
9
,
2









y
B
B
y
y

sm,
3
4
1
1
1
10
25
,
48
10
18
,
117
12
,
4











x
C
C
x
x

sm,
3
4
1
1
1
10
59
,
26
10
61
,
66
4











y
C
C
y
y

.