Bir o’zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha.
Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari
y = f (M) = f (x1; x2; …; xn) funksiya V Rn to’plamda aniqlangan bo’lib, nuqta V to’plamning quyuqlanish nuqtasi bo’lsin. Funksiya limitining bir-biriga o’zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta’riflari mavjud.
Ko’p o’zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta’riflanadi: Har bir hadi V to’plamga tegishli va M0 quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M1, M2, …, Mk, … nuqtalar ketma-ketligi M0 nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M1), f (M2), …, f (Mk), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M0 dagi limiti deyiladi va
yoki
ko’rinishda yoziladi.
Xususan, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x0 songa intiluvchi argument qiymatlari x1, x2, …, xk, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda xk є V, xk ≠ x0 (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x1), f (x2), …, f (xk), … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x0 dagi limiti deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta’riflanadi:
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M0 nuqtaning δ atrofi Sδ(M0) ni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha M є Sδ(M0) ∩ V, M ≠ M0 nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M0 dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo’lsaki, V to’plamga tegishli va 0 < |x - x0| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x0 dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan birini qo’llab, masalan,
, 2) yoki 3) mavjud emasligini isbotlash mumkin.
1-rasm
Quyida sanab o’tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta’riflar asosida isbotlanadi.
(1-ajoyib limit asosiy shakli).
2. . 3. . 4. .
5. . (2-ajoyib limit asosiy shakli).
6. . 7. .
8. . 9. .
Limitga ega funksiyalar o’zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:
1) y = f (M) funksiya M → M0 da limitga ega bo’lsa, us hbu limit yagonadir;
2) y = f (M) funksiya M → M0 da chekli limitga ega bo’lsa, M 0 nuqtaning δ atrofi Sδ(M0) mavjudki, Sδ(M0) ∩ V to’plamda f (M) funksiya chegaralangan bo’ladi.
Dostları ilə paylaş: |