Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqida tushuncha. V1 D(y) nuqtalar to’plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V1 da erishadigan qiymatlari to’plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, funksiya V1 da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V1 nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
V1 D(y) nuqtalar to’plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V1to’plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V1 = D(y) bo’lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to’plami chegaralangan sonlar to’plamidan iborat bo’ladi.
Agar y = f (M) funksiya V1 to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo’lsa, V1 to’plamga tegishli {Mk} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o’rinlidir.
Misollar:
1) bir o’zgaruvchili y = x2 funksiya aniqlanish sohasi R1 da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
2) ikki o’zgaruvchili funksiya o’z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x1; x2) є R2| x12+ x22≤ 1} to’plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].
y = f (M) funksiya qavariq V Rn nuqtalar to’plamida aniqlangan bo’lsin.
V qavariq to’plamga tegishli har qanday ikki M1(x1; x2; …; xn) va M2(u1; u2; …; un) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M1) + (1-α) f (M2) (f (P) ≥ α f (M1) + (1–α) f (M2)) tengsizliklar o’rinli bo’lsa, bu yerda R(α x1+(1–α)u1; α x2+(1–α)u2; …; αxn +(1-α)un), u holda, y = f (M) funksiya V to’plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x2funksiya R1 da qavariq funksiyaga misol bo’lsa, y = -x2 funksiya esa R1 da botiq funksiyaga misol bo’ladi. n o’zgaruvchili chiziqli y = a1x1+ a2x2+ … +anxn funksiya Rn fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
1. –f (M) funksiya V to’plamda botiq bo’lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo’ladi.
2. f1(M) va f2(M) funksiyalar V to’plamda qavariq bo’lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k1 va k2 koeffitsientli chiziqli k1f1(M) + k2f2(M)kombinatsiyasi V to’plamda qavariq bo’ladi.
3. f (M) funksiya V to’plamda qavariq bo’lib, {M є V | f (M) ≤ b} to’plam bo’sh bo’lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to’plamning o’zi ham qavariq to’plamdir.
Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o’xshash xossalarga ega.