Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar

Bir o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami.
n o’lchovli haqiqiy fazoda nuqtalar to’plami berilgan bo’lsin.
V to’plamga tegishli har bir nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo’yuvchi f  qonunga x₁, x₂, …, x_n o’zgaruvchilarning V nuqtalar to’plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o’z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x₁; x₂; …; x_n) ko’rinishda yoziladi. f (M) haqiqiy son y funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi.
Xususan, agar V є R₁ bo’lib, V to’plam R₁={x} haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plamidan iborat bo’lsa, V to’plamda bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi.
Misollar: 1) to’plamda berilgan bir x o’zgaruvchili funksiya. Xususan, єf (e) = lne = 1.
2) to’plamda berilgan ikki va o’zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada .
3)  to’plamda berilgan uch x₁, x₂ va x₃ o’zgaruvchili funksiya. nuqtada
funksiya berilgan fazoga tegishli to’plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va yoki yozuv bilan ifodalanadi.
funksiya o’z aniqlanish sohasi ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlari to’plamiga esa uning qiymatlari to’plami yoki o’zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to’plami R₁ haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plami bo’lib, yoki belgilar bilan yoziladi.
Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping va tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to’plamini aniqlang:

1) 2)

3)
1) bir o’zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, . Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o’qida ochiq nur ko’rinishida tasvirlanadi:

Funksiya qiymatlari to’plami esa sonlar o’qidan iborat, ya’ni .
2) funksiya ikki o’zgaruvchili bo’lib, uning aniqlanish sohasi . Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R₂ da quyidagicha tasvirlanadi:

Funksiya qiymatlari to’plami E(y) = [0; ∞).
3) berilgan uch o’zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi

F unksiya aniqlanish sohasi R₃ fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo’lgan kubdan iborat:
Funksiya qiymatlari to’plami E(y) = [0; 3π].
„Funksiya" termini 1692-yilda Leybnisning bir kitobida berilgan, so’ngra bu terminni aka-uka Yakob ya Iogann Bernullilar biror egri chiziq nuqtalari bilan bog’liq bo’lgan turli kesmalarni xarakterlash uchun ishlatganlar. Iogann Bernulli 1718-yilda birinchi marta funksiyaning geometrik mulohazalardan holi bo’lgan ta’rifini beradi.
Elementar funksiyalar. Bu yerda elementar funksiyalar deb atalgan funksiyalarning ba’zi bir sinflarini ko’rsatib o’taylik.

1. 
   Butun va kasr ratsional funksiyalar. x ga nisbatan butun
   

ko’phad (bu yerda _{ },_{ } ... o’zgarmas) bilan tasvirlanuvchi funksiya b u t u n r a t s i o n a l f u n k s i y a deyiladi. Bunday ikki ko’phadning

nisbati k a s r r a t s i o n a l f u n k s i y a deyiladi. Bu funksiya x ning maxrajni nolga aylantiruvchi qiymatlaridan boshqa hamma qiymatlari uchun aniqlangan bo’ladi.Misol tariqasida 6-chizmada y= ax² funksiya (para­bola) ning a koeffitsient har xil qiymatlar qabul qilgandagi grafiklari berilgan.
7 - chizmada _{ } funksiya (teng yonli giperbola) ning har xil qiymatlarini qabul qilgandagi grafiklari berilgan.

2.D a r a j a l i f u n k s i y a. Quyidagi

ko’rinishdagi funksiyani darajali funksiya deyiladi, bu yerda _{ } ixtiyoriy o’zgarmas haqiqiy son. Agar _{ } butun bo’lsa, ratsional funksiya hosil bo’ladi. Agar _{ } kasr bo’lsa, biz i l d i z ga ega bo’lamiz. Masalan, m natural son bo’lsin va:
.
Bu funksiya m toq bo’lganda, x ning hamma qiymatlari uchun va m juft bo’lganda, x ning faqat musbat qiymat­lari uchun aniqlanadi (bu holda biz ildizning faqat arif­metik qiymatini hisobga olamiz). Nihoyat, _{ } irratsional son bo’lsa, x > 0 deb faraz etamiz (x= 0 qiymat _{ } > 0 bo’lgandagina olinadi).
Quyida 8- va 9- chizmalarda _{ } ning har xil qiymatlari uchun darajali funksiyaning grafiklari berilgan.

3. Ko’rsatkichli funksiya, ya’ni

ko’rinishdagi funksiyadir, bu yerda a 1 dan farqli musbat son; x istalgan haqiqiy qiymat qabul qila oladi. 10-chizmada a ning har xil qiymatlari uchun ko’rsatkichli funksiyaning grafiklari berilgan.

4. Logarifmik funksiya, ya’ni


ko’rinishdagi funksiya, bu yerda a yuqoridagi singari 1 dan farqli musbat sondir; x faqat musbat qiymatlar qabul qiladi.11- chizmada bu funksiyaning a ning turli qiymatlaridagi grafiklari berilgan.
5. Trigonometrik funksiyalar:

Agar trigonometrik funksiyalarning argumentlari burchaklarning o’lchovi sifatida qaralsa, ular bu burchaklarni har vaqt radianlarda ifodalaydi (agarda aksi aytilmagan bo’lsa). Buni har vaqt esda tutish kerak.
Bunda va  lar uchun  ko’rinishdagi qiymatlar, va  lar uchun (bu yerda k — butun son) ko’rinishdagi qiymatlar mustasnodir.
funksiyalar­ning grafiklari 12 va 13- chizmalarda berilgan. Sinusning grafigi, odatda, sinusoida deyiladi.