Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar

Limitlar haqidagi teoremalar. Bir o’zgaruvchili funksiya limitlarini hisoblashda qo’llaniladi. Masalan,
Agar bo’lsa, α(M) funksiya M → M₀ da cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Xususan, agar bo’lsa, bir o’zgaruvchili α(x) funksiya x → x₀ da cheksiz kichik deb ataladi.


Masalan, funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir.Cheksiz kichik funksiya o’zining quyidagi xossalariga ega:
1) M → M₀ da α(M) cheksiz kichik funksiya bo’lib, f (M) = b + α(M) bo’lganda, mavjud va aynan b ga tengdir;
2) chekli sondagi va har biri M → M₀ da cheksiz kichik funksiyalarning yig’indisi yoki ko’paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
3) M → M₀ da cheksiz kichik funksiyaning, M₀ nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko’paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
1.2-§. Funksiyaning uzluksizligi va uning xossalari
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to’plamda aniqlangan bo’lib, nuqta V to’plamning quyuqlanish nuqtasi va M₀ є V bo’lsin.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta’riflagan kabi, ikki teng kuchli ta’riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to’plamga tegishli va uning M₀ quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M₁), f (M₂), …, f (M_k), … sonli ketma-ketligi f (M₀) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning shunday bir δ atrofi S_δ(M₀) ni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M₀) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M₀ nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M₀ nuqtada erishadigan qiymati f (M₀) ga tengligini anglatadi, ya’ni .
shart shartga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M₀) = Δf (M₀) almashtirish kiritsak, shartlar

ko’rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta’riflarni bir o’zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:
1) y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki
Uzluksiz funksiyalar xossalari. To’plamda uzluksizlik
Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi:
1. f (M) va g(M) funksiyalar M₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda M₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo’ladi:
a) ; b) (k – o’zgarmas); c)
d)  .
2. Agar f (M) funksiya V to’plamda aniqlangan bo’lib, M₀ є V nuqtada uzluksiz va f (M₀) > 0 (f (M₀) < 0) bo’lsa, u holda M₀ nuqtaning shunday bir δ atrofi S_δ(M₀) mavjudki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 (f (M) < 0) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
To’plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to’plamda uzluksiz funksiya deyiladi.
To’plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:
1. Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda f (M) funksiya V to’plamda chegaralangandir.
2. Agar f (M) funksiya ixcham V to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda f (M) funksiya V to’plamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o’zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo’shimcha quyidagi xossa o’rinli:
3 . Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (1-rasm). 1-rasm.