Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§.
Bir o’zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Teskari funksiya. V R1 nuqtalar to’plamida aniqlangan bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo’lgan barcha (x; f (x)), x є V juftliklarning X0Y to’g’ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.
R1 fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to’plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo’lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya V to’plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0Y ordinata o’qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o’rinli bo’lsa, y = f (x) V to’plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x2n (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo’lsa, toq natural darajali y = x2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo’lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo’yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo’ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri .
y = f (x) funksiya V R1 to’plamda aniqlangan bo’lib, uning biror-bir V1 qism osti to’plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x1 va x2 nuqtalar uchun x1 < x2 munosabatdan f (x1)< f (x2) (f (x1)≤ f (x2)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V1to’plamda o’suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.
Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V1 to’plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x1 va x2 nuqtalar uchun x1< x2 shartdan f (x1)>f (x2) (f (x1) ≥ f (x2) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V1 to’plamda kamayuvchi (o’suvchi emas) deyiladi.
O’suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat’iy monoton funksiyalar deyiladi.
Masalan, y = ex aniqlanish sohasi R1 da qat’iy monoton o’suvchi funksiyaga misol bo’lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo’la oladi.
y = f (x) funksiya D(y) R1 sohada aniqlangan bo’lib, E(y) uning qiymatlar to’plami bo’lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x1, x2 є D(y) lar qaralmasin, x1≠ x2 shart qanoatlantirilganda, f (x1) ≠ f (x2) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo’yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to’plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.
Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to’plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo’lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o’taydi.
Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o’zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.
Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat’iy monoton o’suvchi va uzluksiz bo’lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat’iy o’suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega.
O’zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o’qi y = x to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.