Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar

Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqida tushuncha.

V₁  D(y) nuqtalar to’plamida berilgan y = f  (x) funksiyaning V₁ da erishadigan qiymatlari to’plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, funksiya V₁ da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.

y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V₁ nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o’rinli bo’ladi.

V₁  D(y) nuqtalar to’plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V₁ to’plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V₁ = D(y) bo’lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to’plami chegaralangan sonlar to’plamidan iborat bo’ladi.

Agar y = f (M) funksiya V₁ to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo’lsa, V₁ to’plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o’rinlidir.

Misollar:

1) bir o’zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);

2) ikki o’zgaruvchili funksiya o’z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂  |  x₁²  + x₂² ≤ 1} to’plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].

y = f (M) funksiya qavariq V  R_n nuqtalar to’plamida aniqlangan bo’lsin.

V qavariq to’plamga tegishli har qanday ikki M₁(x₁; x₂; …; x_n) va M₂(u₁; u₂; …; u_n) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M₁) + (1-α) f (M₂) (f (P) ≥ α f (M₁) + (1–α) f (M₂)) tengsizliklar o’rinli bo’lsa, bu yerda R(α x₁ +(1–α)u₁; α x₂ +(1–α)u₂; …; αx_n +(1-α)u_n), u holda, y = f (M) funksiya V to’plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.

Masalan, y = x² funksiya R₁ da qavariq funksiyaga misol bo’lsa, y = -x² funksiya esa R₁ da botiq funksiyaga misol bo’ladi. n o’zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.

Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

1. –f (M) funksiya V to’plamda botiq bo’lgandagina, f  (M) funksiya V da qavariq funksiya bo’ladi.

2. f₁(M) va f₂(M) funksiyalar V to’plamda qavariq bo’lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k₁ va k₂ koeffitsientli chiziqli k₁f₁(M) + k₂f₂(M) kombinatsiyasi V to’plamda qavariq bo’ladi.

3. f (M) funksiya V to’plamda qavariq bo’lib, {M є V  |  f (M) ≤ b} to’plam bo’sh bo’lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to’plamning o’zi ham qavariq to’plamdir.

Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o’xshash xossalarga ega.