Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar

Bir o’zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Teskari funksiya.

V  R₁ nuqtalar to’plamida aniqlangan bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo’lgan barcha (x; f (x)), x є V juftliklarning X0Y to’g’ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.

R₁ fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to’plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo’lsin.

Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya V to’plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0Y ordinata o’qiga nisbatan simmetrikdir.

Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o’rinli bo’lsa, y = f (x) V to’plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.

Masalan, juft natural darajali y = x²ⁿ (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo’lsa, toq natural darajali y = x^2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir.

y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat  t  son mavjud bo’lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo’yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo’ladi.

Masalan,  y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri .

y = f (x) funksiya V  R₁ to’plamda aniqlangan bo’lib, uning biror-bir V₁ qism osti to’plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁ < x₂ munosabatdan f (x₁)< f (x₂) (f (x₁)≤ f (x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V₁ to’plamda o’suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.

Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V₁ to’plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁< x₂ shartdan f (x₁)>f (x₂) (f (x₁) ≥ f (x₂) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V₁ to’plamda kamayuvchi (o’suvchi emas) deyiladi.

O’suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat’iy monoton funksiyalar deyiladi.

Masalan, y = e^x aniqlanish sohasi R₁ da qat’iy monoton o’suvchi funksiyaga misol bo’lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo’la oladi.

y = f (x) funksiya D(y)  R₁ sohada aniqlangan bo’lib, E(y) uning qiymatlar to’plami bo’lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x₁, x₂ є D(y) lar qaralmasin, x₁ ≠ x₂ shart qanoatlantirilganda, f (x₁) ≠ f (x₂) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo’yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to’plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.

Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to’plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo’lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o’taydi.

Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o’zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.

Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat’iy monoton o’suvchi va uzluksiz bo’lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat’iy o’suvchi va uzluksiz x = arcsin y  teskari funksiyasiga ega.

O’zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o’qi y = x to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.