Kurs ishi Reja Kirish I bob. Bir o’zgaruvchili funksiyalar 1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar

Bir o’zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.

Bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo’lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlantiruvchi x  lar uchun |f (x) – b | < ε tengsizlik o’rinli bo’lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.

2 – rasm.

funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta’riflanadi.

Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0;

2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ;

3) .

Bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x₀  da aniqlangan bo’lib, x₀ nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo’lsin (3–rasm).

Har qanday ε > 0 son uchun δ₁ > 0 sonni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, x₀–δ₁< x < x₀ shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b₁| < ε tengsizlik bajarilsa, b₁ = f (x₀–0) son f (x) funksiyaning x→x₀ da chapdan limiti deyiladi va ko’rinishda yoziladi.

funksiyaning x → x₀  da o’ngdan limiti ham shunga o’xshash aniqlanadi va ko’rinishda yoziladi (3 – rasm ).

3-rasm.

Masalan, 1) ; 2) .

funksiyaning x₀ nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o’ngdan limitlarga ega bo’lib, f  (x₀–0) = f  (x₀+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo’ladi.

 Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.

Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:

1. Agar y = f (M) = C  (C – o’zgarmas) bo’lsa, u holda .

2.  mavjud bo’lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun

3. Agar va mavjud bo’lsa,

a)  ham mavjud bo’ladi va

.

b) mavjud bo’ladi va

c) o’rinli bo’lganda, ham mavjud bo’ladi va .

d) M₀ nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.