Ma’ruza №7 Mavzu: Garmonik tebranishlar. Tebranma harakat haqida tushuncha. Garmonik tebranishlarning tenglamasi. Titrash. Tebranishlarni qo’shish. Tebranma harakat dinamikasi tenglamasi. Garmonik tebranma harakat energiyasi. Mavzu rejasi

Holatning vaqtga bog‘liqligi
Endi sodda garmonik harakat qilayotgan massali jismning holatini vaqt funksiyasi sifatida topish uchun tayanch doirasidan foydalaniladi. 11-7-rasmdan ob’ekt holatining o‘qiga proeksiyasi

ekanligini ko‘ramiz. Massa tayanch doirasida (11-7-rasm) o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanadi. Bundan deb yoza olamiz, bu erda - radianlarda o‘lchanadi. Shunday qilib,
. (7-4a)
Bundan tashqari burchak tezlanishni (radian/sekundlarda) ko‘rinishda yozishimiz mumkin, bu erda - chastota, bundan
(7-4b)
deb yoza olamiz yoki davr nuqtai nazaridan
(7-4c)
(7-4c) tenglamada bo‘lganda (bir davrga teng vaqt o‘tgandan so‘ng) biz (yoki ) , yoki bilan ish ko‘ramiz. Bu harakat biror vaqtdan keyin takrorlanishini bildiradi¹.
Kosinus funksiyasi 1 dan – 1 gacha oraliqda o‘zgarishi sababli (7-4) tenglamalar A bilan –A oralig‘ida o‘zgarishini, aslida ham shunday bo‘lishi kerakligini bildiradi. 7-6-rasmda ko‘rsatilgandek ruchka vibratsiyalanayotgan jismga biriktirib qo‘yilsa, va uning tagidagi qog‘oz o‘zgarmas tezlik bilan siljitilsa, sinusoidal egri chiziq chiziladi, bu esa (7-8) tenglamalardan aniq kelib chiqadi¹.

7-6-rasm. Garmonik ossillyator holatining vaqtga bog‘liqlik funksiyasi



Sinusoidal harakat
7-4a tenglamada qonun bilan tebranayotgan ob’ekt tebranma harakat tinch holatdan boshlanishini va uning maksimal siljishi ( ) ga mos kelishini bildiradi. SGT larning boshqa tenglamalari ham boshlang’ich shartlarga bog‘liq ravishda ( ) shunday bo‘lishi mumkin¹.
3. Garmonik tebranishlarning asosiy qonuniyatlari va harakteristikalari bilan moddiy nuqtaning aylana bo’ylab tekis harakati misolida tanishish oson va tushunarlidir. M - moddiy nuqta A – radi-usli aylana bo’ylab soat strelkasi harakati yo’nalishiga teskari yo’nalishda o’zgarmas w - burchak tezlik bilan harakatlanayotgan bo’lsin (7.1-rasm).
Agar t=0 da, M nuqta M₀ vaziyatda bo’lsa, biror t vaqtdan so’ng, u aylana yoyi bo’ylab harakatlanib j = wt burchakka siljiydi. M nuqta X va Y o’qlardagi proeksiyalarini mos holda K va L deb belgilasak, M nuqtaning aylana bo’ylab tekis harakati davomida bu nuqtalar X va Y o’qlari bo’ylab +A va –A oralig’ida davriy ravishda O nuqta atrofida siljiydi. K va L nuqtalarning t ga bog’liq holda siljishi 9.1-rasmga ko’ra quyidagicha bo’ladi:

) φ

, (7.7)
. (7.8)
Agarda, t=0 paytda M nuqta muvozanat vaziyatda ya’ni M₀ nuqtada bo’lmasa:
x=Acos (j+j₀) =Acos(wt+j₀), (7.9)
y=Acos (j+j₀) =Acos(wt+j₀) . (7.10)
Yuqorida keltirilgan ifodalar, garmonik tebranishlarning kinematik tenglamalarining turli ko’rinishlaridir. x, A, w, T, n, j, va j₀ larga garmonik tebranishlarning kinematik parametrlari deyiladi.
x-siljish, A-amplituda, w-siklik (doiraviy) chastota; T-tebranish davri, n-tebranish chastotasi, j-tebranish fazasi, j₀-boshlang’ich faza.
Tebranishi kuzatilayotgan jismning muayyan paytdagi siljishi va uning harakat yo’nalishi ya’ni tebranuvchi jismni (sistemani) holatini, tebranish fazasi to’liq belgilaydi, bu fazaning fizik ma’nosidir. Haqiqatdan ham, masalan bo’lsa, ga,
bo’lsa, x=A ga, j=p bo’lsa, x=0 ga bo’lsa, x=-A ga va shunga o’xshash bo’ladi.
Garmonik tebranishlarning grafiklari quyidagicha bo’ladi (9.2-rasm).

4 . Garmonik tebranishlar ko’pincha chizma ravishda amplituda-vektor usuli bilan tasvirlanadi va bu usul vektor-diagramma usuli deb ataladi. Bu usulning mohiyati quyidagidan iborat: X o’qidagi ixtiyoriy 0 nuqtadan uzunligi tebranish amplitudasining son qiymatiga teng bo’lgan A vektorni shunday joylashtiriladiki, bu vektor OX o’qi bilan tebranishning boshlang’ich fazasi a ga teng bo’lgan burchak hosil qiladi. Agar A ni 0 nuqta atrofida soat miliga teskari yo’nalishda w₀ burchak tezlik bilan aylantirilsa, A ning X o’qidagi proeksiyasi +A va –A orasida o’zgaradi. (7.8-rasm).
Rasmdan ko’rinishicha t vaqtdan so’ng uning X o’qdagi proeksiyasi x = Acos(w₀t+a) bo’ladi. Shunday qilib w₀ chastota bilan sodir bo’layotgan garmonik tebranishni X o’qidagi, ixtiyoriy nuqta atrofida, w₀ burchak tezlik bilan aylanuvchi A ning shu o’qdagi proeksiyaning vaqt bo’yicha o’zgarishi tarzida tasvirlash mumkin ekan: bunda t=0 paytdagi A ning X o’qi bilan hosil qilgan burchagi a tebranishining boshlang’ich fazasini ifodalaydi.
5. Moddiy nuqta bir vaqtning o’zida ikki va undan ortiq tebranishlarda qatnashishi mumkin. Masalan, harakatdagi vagon shipiga osilgan prujinali mayatnikning tebranishi bunga misol bo’la oladi. Tebrangich o’zining xususiy tebranishidan tashqari vagon bilan birgalikda tebranma harakatda ishtirok etadi. Faraz qilaylik, yo’nalishi va davri bir xil bo’lgan, boshlang’ich fazasi va amplitudasi bilan farq qiladigan ikkita garmonik tebranishlar tenglamasi berilgan bo’lsin:
x₁=A₁sin(wt+j₁) va x₂=A₂sin(wt+j₂). (7.11)