Matematik Modellashtirish

Harakat kinematikasi.
Kinematikaning maqsadi Sanoq sistemasi deb ataluvchi qandaydir kuzatuvchiga nisbatan harakat sistemasini o’rganishdan iborat. Bu yerda biz ikkita yangi tushuncha kiritamiz.
1) t uzluksiz parametr – vaqtga mos keluvchi, vaqt o’lchovi turini tanlaydi.
2) Chiziqli koordinatalar sistemasi, yoki sanoq sistemasi – kuzatuvchi bilan bog’lagan. Affin fazosida bu Sistema koordinatalar boshi va uch orthogonal bazis vektorlar: 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 aniqlangan.
Ta’rif 2. Sanoq sistemasi xronologiya va koordinatalar sistemasini tanlash bilan aniqlanadi.
Xronologiya bir marta va doimiga aniqlanadi, lekin keyinchalik biz bir nechta sanoq sistemalarni o’rganamiz, bu maqsadimizga bog’liq.
O’rganilayotgan sistema harakati 𝐼 ⊂ 𝑅 vaqt intervalida o’rganiladi. Qaysidir 𝑡є𝐼 vaqtda Sistema 𝛺𝑡 ⊂ 𝑅 3 sohani egallaydi. Harakat 𝑡є𝐼 vaqtga bog’liq deformatsiya akslantirishlarning geometrik oilasi bilan aniqlanadi. Bizga Ф(𝑡,t0 ) – diffeomorfizm berilgan bo’lsin:
𝑎є𝛺 t₀ → 𝑥 = Ф(𝑎,𝑡, t₀ )є𝛺𝑡 ,
t₀ vaqtdagi 𝑎 ning joylashinuvini t vaqtdagi x ning joylashinuviga akslantiradi. Quyidagi gipotezalarni yozamiz:
1) Ф(t₀ , t₀ ) = 𝐼,
2) Ф(𝑡 ′ ,𝑡)°Ф(𝑡, t₀ ) = Ф(𝑡 ′ , t₀ )
3) (𝑡, 𝑎) → Ф(𝑎,𝑡,t0 ) akslantirish 𝐶 1 sinfga tegishli.

2 – rasm.
Ta’rif 3. Moddiy sistema qattiq jismni o’zida aks ettiradi, qachonki ixtiyoriy 𝑡 va 𝑡 ′ larda Ф(𝑡,𝑡 ′ ) akslantirish izometrik bo’lsa.
Harakatning aniq ko’rinishi.
t₀ – sanoq boshining vaqti bo’lsin va O nuqta – koordinatalar boshi bo’lsin affin fazosida. M moddiy nuqtaning holati ixtiyoriy t vaqtda
vektor bilan aniqlanadi. shu bilan birga quyidagini ozishimiz mumkin: = 𝑥 = Ф(𝑎,𝑡, t₀ ),
Yoki t0 ni tashlab yuborsak,
= 𝑥 = Ф(𝑎,𝑡).
Zarra trayektoriyasi.
t₀ vaqtda a zarrani joylashuvini ko’raylik.
{Ф(𝑎,𝑡, t₀ )}𝑡є𝐼 – egri chiziq zarraning trayektoriyasi hisoblanadi. T harakat kuzatilayotgan vaqt oraligi bo’lsin.
Zarra tezligi
M zarraning, ya’ni moddiy nuqtaning t vaqtdagi x holatni egallagan tezligi quyidagicha bo’lsin:
𝑈 = 𝑈(𝑥,𝑡) = (𝑎,𝑡, t₀ )
ko’rinishdagi vektor hisoblanadi.