Matematik Modellashtirish

Moddiy modellar asosan o‘rganilayotgan ob'ekt va jarayonni geometrik, fizik, dinamik yoki funksional xarakteristikalarini ifodalaydi. Masalan, ob'ektning kichiklashtirilgan maketi (masalan, avtomobil, bino, texnologik mashina) va turli xil fizik, ximik va boshqa xildagi maketlar bunga misol bo’la oladi. Bu modellar yordamida turli xil texnologik jarayonlarni optimal boshqarish (optimallashtirish), ularni joylashtirish va foydalanish yo‘llari o‘rganiladi. Umuman olganda, moddiy modellar tajribaviy xarakterga ega bo‘lib, texnika fanlarida keng qo‘llaniladi.
Abstrakt (ideal) modellar inson tafakkurining mahsuli bo‘lib, ular tushunchalar, gipotezalar va turli xil qarashlar sistemasidan iborat. Iqtisodiy tadqiqotlarda, boshqarish sohalarida asosan abstrakt modellashtirishdan foydalaniladi.
Ilmiy bilishda abstrakt modellar ma'lum tillarga asoslangan belgilar majmuidan iborat. O‘z navbatida belgili abstrakt modellar matematik va logik tillar shaklidagi matematik logik modellarni ifodalaydi.
Matematik modellashtirish turli xil tabiatli, ammo bir xil matematik bog’lanishlarni ifodalaydigan voqea va jarayonlarga asoslangan tadqiqot usulidir.
Turli sohalarda matematika va matematik modellashtirish usullarini qullanilishi, asosan, quyidagi maqsadlarni o‘z oldiga qo‘yadi:

• 
  ob'ekt yoki jarayonlarni belgilovchi asosiy faktorlar orasidagi muhim bog‘lanishlarni aks ettirish;
  
• 
  berilgan aniq ma'lumotlar va munosabatlar asosida deduksiya uslubi orqali o‘rganilayotgan ob'ekt yoki jarayonlar uchun adekvat xulosalar olish;
  
• 
  o‘rganilayotgan ob'ektning amaldagi kuzatilishiga uni bog‘lovchi faktorlarning matematik statistika usullari yordamida shaklini hamda bog‘liqligini o‘rganish jarayonida ob'ekt haqida yangi bilimlarga ega bo‘lish;
  
• 
  o‘rganilayotgan ob'ekt yoki jarayon holatini matematika tili orqali aniq va ravshan ifodalash.
  

Hozirgi paytda matematik modellashtirish iqtisodiy tadqiqotlarda, amaliy rejalashtirishda va boshqarishda yetakchi o‘rin egallab, kompyuterlashtirish bilan chambarchas bog’langan.
Matematika, kompyuterlashtirish sohalari, umumuslubiy va predmet fanlarining rivojlanishi natijasida matematik modellashtirish uzluksiz rivojlanib, yangi-yangi matematik modellashtirish shakllari vujudga kelmoqda.
Ob'ekt (jarayon, voqea) ning matematik modeli kamida ikkita guruh elementlarini o‘z ichiga olgan matematik masaladan iborat bo‘ladi. Ularda
birinchisi - ob'ektning aniqlanishi kerak bo‘lgan elementi (y = {y_t) vektorning koordinatalari), ikkinchisi esa ma'lum shartlar asosida o‘zgaradigan elementlar (x = (x_t) vektor elementlari).
Matematik modellar o‘zining tashqi shartlari, ichki va topilishi zarur bo’lgan elementlari bo‘yicha funksional va strukturali qismlarga bo‘linadi.
Funksional model - X ga qiymat berib, Y ning qiymatini olish bo‘yicha ob'ektning o‘zgarishini ifodalaydi. Bunda Y= F (X) bog’lanish o’rinli bo‘ladi.
Strukturali modellar ob'ektning ichki tuzilishini, uning tuzilish qismlarini, ichki parametrlarini va ular orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi.
Strukturali modellarning eng ko‘p tarqalgani quyidagilardan iborat:

1. 
   hamma noma'lumlar ob'ektning tashqi shartlari va ichki parametrlari funksiyalari shaklida ifodalanadi:
   

y = f (A, X), i g J (1)

2. 
   noma'lumlar i tartibli (tenglamalar, tengsizliklar va hokazo) sistemalar yordamida aniqlanadi:
   

F (A, X) = 0, i g J (2)
bu yerda: A - parametrlar to‘plami.
Har doim ham (2) ko‘rinishdagi masalalar (1) ko‘rinishga keltirilavermaydi. Masalan, beshinchi yoki undan ortiq tartibli algebraik tenglamalarning umumiy yechimini (1) ko‘rinishda ifodalab bo‘lmaydi.
Funksional va strukturali modellar bir-birini to‘ldiradi. Funksional modellarni o‘rganishda o‘rganilayotgan ob'ektning strukturasi haqida gipotezalar paydo bo‘ladi va shu bilan strukturali modelga yo‘l ochiladi. Ikkinchi tomondan esa, strukturali modellarni tahlil qilish ob'ektning tashqi o‘zgarish shartlarini takomillashtiradi.
EHMning vujudga kelishi bilan modellashtirishning yangi yo‘nalishi paydo bo‘ldi. Model yaratish va unda tajribalar o‘tkazishda EHM katta rol o‘ynaydi. Bunday modellar imitatsion modellar deyiladi.
Iqtisodiy jarayonlar va voqealarning matematik modellari iqtisodiy- matematik modellar deyiladi.
Amaliy maqsadlarda iqtisodiy-matematik modellar iqtisodiy jarayonlarning umumiy xossalari va qonuniyatlari bo‘yicha nazariy-analitik modellarga, konkret iqtisodiy masalalarni yechish (iqtisodiy tahlil, bashoratlash va boshqarish modellari) bo‘yicha esa tadbiqiy modellarga bo‘linadi.
Iqtisodiy-matematik modellardan xalq xo‘jaligining turli sohalarini va ayrim qismlarini tadqiq etishda foydalanish mumkin. Masalan, iqtisodiy jarayonlarini modellashtirishda statistik usullar yordamida statistik modellar quriladi. Nazariy statistika asoslari yordamida esa indeksli, balansli va korrelyasion-regression modellar quriladi.
Korrelyasion-regression tahlil yordamida belgilar o‘rtasidagi bog’lanishni ifodalovchi regressiya tenglamasi aniqlanadi va uni ma'lum ehtimol (ishonch darajasi) bilan baholash, bog’lanish zichligini aniqlash o‘rganiladi.
Masalan, x va y o‘rtasidagi korrelyasion bog’lanish uchun regressiya tenglamasi y = a + kx ko‘rinishda bo‘lishi mumkin, bu yerda a va k - kuzatish natijalari asosida aniqlanadigan regressiya tenglamasi koeffitsientlari.
Qo‘llaniladigan matematik modellar har xil bo‘lgani uchun ularning umumlashgan tasnifini tuzish qiyin. Odatda adabiyotlarda keltirilgan tasniflar asosida har xil yo‘llar yotadi. Shunday yo‘llardan biri modellashtirilayotgan jarayonning tavsifi bilan bog‘liq bo‘lib, unda determinlashgan (aniq) va ehtimollik modellarga ajratiladi. Matematik modellarning bunday keng tarqalgan tasnifi bilan bir qatorda boshqalari ham mavjud.
Modellarning tasnifi:

1. 
   Ob’ektning modellashtirilayogan tomoni tabiatiga bog’liqligi bo’yicha:
   

• 
  kibernetik (funksional) modellar;
  
• 
  strukturali modellar.
  

2. 
   Vaqtga bog’liqligi bo’yicha:
   

• 
  statik modellar;
  
• 
  dinamik modellar.
  

3. 
   Tizimning holatini ifodalash usuli bo’yicha:
   

• 
  diskret modellar;
  
• 
  uzluksiz modellar.
  

4. 
   Modellashtirilayotgan jarayonning tasodifiy darajasi bo’yicha:
   

• 
  determinlashgan modellar;
  
• 
  ehtimoliy modellar.
  

5. 
   Amalga oshirish usuli bo’yicha:
   

• 
  abstrakt (xayoliy) modellar;
  
• 
  moddiy modellar.
  

Umumiy holda matematik model qurish jarayoni quyidagi algoritm bo`yicha bajariladi.
1. Ilmiy tadqiqot ob’yektini tanlash. Bunda qaralayotgan ob’yektni modellashtirish zarurligi, dolzarbligi, iqtisodiy samara berishi, modellashtirish imkoniyatlari hisobga olinadi.
2. ob’yektni o`rganish. Bu bosqichda ob’yektning tuzilish konstruktsiyasi, texnologik, fizik-ximik jarayonlari o`rganiladi. Bir qarashda farqi juda kam ko`rilgan jarayonlar izchillik bilan o`rganiladi.
3. ob’yektni tuzilmaviy sxemasini tuzish. Bunda o`rganilayotgan ob’yekt shartli ravishda bo`g`inlarga ajratiladi.
4. alohida bo`g`inlarning matematik ifodasini tuzish. Bunda jarayon, bo`g`inlarga mos keladigan umumiy tenglamalar, tengsizliklar va jadvallar ko`rinishida yoziladi. Ularni yechish algoritmlari ishlab chiqiladi.
5. Bo`g`inlar tenglamalarining ko`rsatkichlarini aniqlash. Bunda ob’yektni fizik, ximiyaviy xossalari, sifat ko`rsatkichlari, geometrik o`lchamlari aniqlanib ularni o`lchash yoki hisoblash algoritmlari yoziladi.
6. ob’yekt tenglamalarini tuzish va tahlil qilish. Bu bosqichda bo`g`inlar tenglamalari bir-birlari bilan bog`lanib, chegaraviy shartlar, boshlang`ich shartlar, o`zgaruvchilarning mumkin bo`lgan o`zgarish oraliqlarini hisobga olgan holda ob’yekt modelini qurish algoritmlari ishlab chiqiladi.
7. Masalani yechish uslublarini tanlash. Bunda ob’yektning qanday tabiat qonunlariga bo`ysunishi, texnik-iqtisodiy imkoniyatlar va qo`yilgan maqsadni hisobga olib u yoki bu modellashtirish uslubi qo`llaniladi.
8. Modelning aniqligini baholash. Modelning maqsadga erishish bo`yicha qo`yilgan talabni qanoatlantiradigan darajada bo`lishi ta’minlanadi

2.