Matematika-informatika fakulteti

3-teorema. Agar va dastlabki qiymat quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1. 
   va (9)
   
2. 
   (10)
   

tengsizlik o’rinli bo’lsa,

3. 
   funksiya
   

(11)
oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega va bu oraliqning barcha nuqtalarida
(12)
bo’lsa,

4. 
   sonlar uchun
   

(13)
shart bajarilsa

5. 
   Hamda
   

(14)
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda :

1. 
   (1) tenglama (11) oraliqda yechimga ega bo’ladi.
   
2. 
   (15)
   

ketma-ket yaqinlashishlarni qurish mumkin va ular ga yaqinlashadi.

3. 
   Yaqinlashish tezligi uchun
   

(16)
baxo o’rinli bo’lib, bu yerda esa
(17)
kvadrat tenglamaning kichik ildizi uchun dan boshlab qurilgan Nyuton ketma-ketligining n- elementidir:

Agar (8) tenglamani Nyuton metodi uchun chiqarilgan tenglik bilan solishtirsak, vatarlar metodida xatoning o'zgarksh qonuni Nyuton qoidasidagi qonunga yaqinligini ko'ramiz.
Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi 3-teoremaga o'xshash quyidagi teorema ham o'rinlidir.
4-teorema. Agar funkiya va dastlabki yaqinlashish 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa va bundan tashqari uchun
va
tengsizliklar bajarilsa, u holda:
1) (6) qoida bilan aniqlangan yaqinlashishlar chekli qadamdan keyin yechimga olib keladi, yoki larni barcha n lar uchun qurish. mumkin bo'lib, ular yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tashkil etadi:

2) limitdagi qiymat tenglamaning yechimi bo'ladi;
3) yaqinlashish tezligi tengsizlik bilan baxolanadi, bu yerda (17) tenglamaning kichik ildizi uchun va dan boshlab vatarlar usuli bilan qurilgan ketma-ket yaqinlashishlardir.

Usulning qulayliklari: usulning yaqinlashuvchanligi kafolatlangan; oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga qaraganda kamida ikki yoki uch marta tezroq yaqinlashishni beradi;

Usulning kamchiliklari: agar a dan b gacha bo‘lgan kesmada umuman ildiz mavjud bo‘lmasa yoki unda bir nechta ildizlar mavjud bo‘lsa, u yechimni izlash vaqti cheksizga yaqinlashishi mumkin; agar f(x) funksiya grafigi [a,b] kesmada yetarlicha yotiq bo‘lsa, u holda f(a) – f(b) farq katta bo‘ladi va hisoblashlarda xatolik ko‘payadi, bunday holda keyingi hisoblashlarda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga o‘tgan ma’qul.
Usulning hisob algoritmi:
1. [a,b] kesmani va  aniqlikni berish.
2. Agar f(a) va f(b) lar bir xil ishorali yoki f '(a) va f '(b) lar har xil ishorali bo‘lsa, ildizni topish mumkin emasligini bildirish.
3. Boshlang‘ich yaqinlashishni va navbatdagi yaqinlashishning iteratsion hisob formulasini yuqoridagi to‘rtta holatdan biri bo‘yicha tanlash.
4. Hisoblashlarni tanlangan iteratsion hisob formulasida bajarish.
5. Aniqlikni baholash: .
6. Agar bu shart bajarilsa, ildiz deb ni qabul qilish, aks holda 4- qadamga o‘tish.
Usulning blok-sxemasi 2.1-rasmda tasvirlangan.