Matematika-informatika fakulteti

2.3-§. Algebraik va transendent tenglamalarni yarim (teng ikkiga) boʻlish usuli bilan yechish.

Bizga

koʻrinishdagi tenglama berilgan hamda funksiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya boʻlib, oraliqning chetki nuqtalari uchun



shart oʻrinli boʻlsin.
Endi yarim(teng ikkiga) boʻlish usulining mohiyatini keltiramiz, buning uchun oraliqni teng ikkiga boʻlamiz va bu nuqtani bilan belgilaymiz, ya’ni
. Agar tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda, berilgan tenglamaning yechimi boʻladi. Aks holda, ya’ni boʻlsa, u holda va oraliqlarning birortasida funksiya har xil ishorali qiymat qabul qiladi. Aynan shu oraliqni bilan belgilaymiz.
Agar yetarlicha kichik  musbat son uchun tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda oraliqqa tegishli ixtiyoriy sonni berilgan tenglamaning taqribiy yechimi sifatida qabul qilish mumkin. Agar bu tengsizlik bajarilmasa, u holda , deb olib hosil qilingan yangi oraliqni yana ikkiga boʻlib, yuqoridagi yarim boʻlish jarayonini davom ettirsak, ma’lum bir qadamdan soʻng oraliq tanlangan yetarlicha kichik  sonidan ham kichik boʻladi. Natijada taqribiy yechim sifatida hosil qilingan oraliqqa tegishli boʻlgan ixtiyoriy sonni olish mumkin.

2.4-§. Vatarlar metodi

Nyuton metodidagi hisoblashlarni soddalashtirishning yana bir usulini ko'ramiz. Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi va larni hisoblash uchun sarflanadi. Shularning birortasi, masalan, ni hisoblash dan qutulish mumkin emasmikin dyegan savol tug'iladi. Bu bizni vatarlar usuliga olib keladi.
Usulning mazmuni.
 f(x) funksiya o‘zining va hosilalari bilan [a,b] kesmada uzluksiz;
 funksiyaning f(a) va f(b) qiymatlari kesmaning oxirgi nuqtalarida har xil ishorali, ya’ni f(a) · f(b) < 0;
 har ikkala va hosilalar [a,b] kesmaning barcha nuqtalarida o‘z ishorasini saqlab qoladi (berilgan [a,b] kesma f(x) funksiya hosilasining o‘z ishorasini saqlashi bu shu funksiya monotonligining yetarli sharti).
Agar ni taqribiy ravishda almashtirsak:



u holda navbatdagi yaqinlashishni topish qoidasi quyidagicha bo'ladi:
(6)
Bu qoidaning geomyetrik ma'nosi quyidagidan iborat:
funktsiyaning grafigida ikkita va nuqtalardan vatar o'tkazamiz. Vatar tenglamasi esa quyidagicha:
.

Agar bu vatarning OX o'qi bilan kesishgan nuqtasini deb olsak, (6) qoida kelib chiqadi.

Vatarlar metodi ikki qadamli metod bo'lib ni topish uchun va ni bilishimiz kerak. (6) qoidani qo'llash uchun:

1. 
   barcha lar ning aniqlanish sohasida yotishi va
   
2. 
   shartlar bajarilishi kerak.
   

Avval bo'lgan holni ko'rib chiqaylik, bu yerda ikki hol bo'lishi mumkin:

Agar bo’lsa
(7)

tenglikdan ligini ko'ramiz. Shuning uchun ham va navbatdagi

yaqinlashishni qurish mumkin bo'lmaydi. Protsyess shu yerda uziladi va yechimga olib kelmaydi.
Agar bo'lsa, larni qurish mumkin, lar o'zaro farqli va deb hisoblaymiz. (7) tenglikdan ko'ramizki, va berilgan tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. Bu holda ketma-ket yaqinlashishlarni gacha bajarish mumkin, shu bilan birga ikkita ustma-ust tushadigan va qiymatlar berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi. Ildiz ratsional son bo'lganda, shunday hol bo'lishi mumkin.
Endi biz yuqoridagi 1), 2) shartlar bajarilgan deb faraz qilib, vatarlar metodining yaqinlashishiga to'xtab o'tamiz. Xato uchun (6) dan

munosabatni chiqaramiz. Agar biz bu yerda va larning hatolar darajalariga nisbatan yoyilmalari



ni qo'yib, tegishli amallarni bajarsak, quyidagi taqribiy


(8)
tenglikka ega bo’lamiz.