Matematika-informatika fakulteti

3. Vatarlar usuli.
 bu usul avvaldan yakkalangan ildiznigina topish imkonini beradi;
 vatarlar usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan o‘tuvchi chiziqli funksiya, ya’ni vatar bilan almashtirishdan iborat;
 yechimni berilgan xatolik bilan topish uchun, birinchidan, funksiya kesmada (hech bo‘lmaganda ildiz atrofida) monoton bo‘lishi lozim, ikkinchidan, u keskin egrilikka ega bo‘lmasligi zarur;
 vatarlar usulida f(x) monoton funksiya uchun kesmaning chetlaridan biri qattiq mahkamlangan hisoblanadi, ikkinchisi esa vatarning Ox absissa o‘qi bilan kesishishidan topiladi; bu mahkamlangan chegara funksiyaning ishorasini va uning ikkinchi tartibli hosilasini intervalning chetlarida tahlil qilishda topiladi;
 f(x) = 0 tenglamani vatarlar usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
 mahkamlangan chegara chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining xossasidan bog‘liq va u har xil bo‘lishi mumkin.
4. Nyuton usuli.
 Nyuton usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan biriga urinma bo‘lib o‘tuvchi chiziqli funksiya bilan almashtirishdan iborat;
 Nyuton usulida boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlash lozimki, nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma ildiz yotgan interval ichida Ox o‘qini kesib o‘tsin; bu jarayon funksiyaning ishorasi va uing ikkinchi tartibli hosilasi yoki tanlash va xatoliklar usuli bilan baholanadi;
 o‘ng chegara mahkamlangan bo‘ladi;
 f(x) = 0 tenglamani Nyuton usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
 agar f(x) funksiya monoton bo‘lmasa, u holda Nyuton usuli klassik holda kafolatlangan natijani bermasligi mumkin.
5. Iteratsiyalar usuli.
 bu usulda f(x) = 0 tenglamaning chap tomoni hech qanday funksiya bilan almashtirilmaydi;
 bu usulda yaqinlashish deb qadamlar soni oshgan sari ildizga ketma-ket yaqinlashish tushuniladi;
 ildizga yaqinlashish bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan) va ikkala tomondan bo‘lishi mumkin, ya’ni ildizga yaqinlashish tebranish jarayoni kabi;
 agar tanlangan kesmada ikkita ildiz mavjud bo‘lsa, u holda у = х to‘g‘ri chiziqning у = (х) egri chiziq bilan ikkita kesishish nuqtasi bo‘lishi lozim; ulardan biri bilan yaqinlashish sharti bajariladi, ikkinchisi bilan esa yo‘q (agar у = (х) uzilishlarga ega bo‘lmasa);
 iteratsion jarayonning yaqinlashmaslik sababi ildizning mavjud bo‘lmasligi yoki yaqinlashish shartining bajarilmasligi (keying holda (х) funksiyaning tuzilishini o‘zgartirish orqali dastlabki, ya’ni f(x) = 0 tenglamani boshqa algoritmdan foydalanib, iteratsiyalar uchun qulay ko‘rinishga keltirish);
 ildizga “tebranma” yaqinlashishda ildiz joylashgan kesmaning miqdorini nazorat qilish mumkin (u ikkita qo‘shni yaqinlashishlar ayirmaning moduli), bir tomonlama yaqinlashishda esa yaqinlashish shartiga (х) funksiyaning shu intervaldagi hosilasining maksimal qiymatidan bog‘liq ko‘paytuvchi kiradi Bulardan tashqari yana quyidagi xulosalarni ham keltirib o‘tamiz:
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish ancha murakkab va bu masala hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan muammosi ekan;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning boshlang‘ich muammosi – bu chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni topish muammolari o‘rganildi, bular aniq misollarni yechish orqali izohlandi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ajratilgan ildizini topish muammosi bir nechta taqribiy usullarda bayon qilindi, aniq misollar yechimlari bilan izohlandi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizlarini topishning taqribiy usullari soddadan murakkabga va ularning xususiy hollari bilan o‘rganildiki, bu shu mavzuni batafsilroq yoritish imkonini berdi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida yechishning muammolari o‘rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining grafigini Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida chizish orqali tenglama haqiqiy yechimlari mavjudligi, ularning soni, bu yechimlar yotgan oraliqlarni topish muammolari o‘rganildi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarning analitik yechimini Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida yechish o‘rganildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tanishildi, amaliy masalalar yechildi;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida sonli yechishning algoritmi, dasturi, matematik paketlardan foydalanish bosqichlari bajarildi, har xil amaliy masalalar yechildi;
 qo‘yilgan masalani matematik paketlar yordamida samarali yechishga oid tavsiyalar ishlab chiqildi, undan foydalanishning mumkin bo‘lgan imkoniyatlari ketma-ket tahlil qilindi;
 sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob jarayonining to‘g‘ri ekanligi, algoritm va dasturlardan samarali foydalanish mumkinligi ko‘rsatildi;
 ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturlatidan har xil chiziqli bo‘lmagan tenglamalarga oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin;
 chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan Nyuton usuli juda samarali ekan, ammo uning qo‘llanilish sohasi juda kam;
 iteratsiyalar usuli ham juda qulay, ammo yaqinlashuvchi funksiyani topish ko‘p hollarda mushkulroq;
 oraliqni ikkiga bo‘lish usuli juda qulay, ammo uning yaqinlashish tezligi juda sust va karrali ildizlar uchun muammoli;
 iteratsion usullarning takomillashtirilgan har xil variantlari juda samarali, ammo bu boshlang‘ich yaqinlashishni yakkalashtirilgan ildizga juda yaqin olinganda va yaqinlashish shartlari bajarilgandagini bu usullarning yaqinlashsh tezligi keskin oshadi; Shunday qilib, chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish muammosi qo‘yilgan amaliy masala turiga qarab to‘g‘ri taqribiy usulni va boshlang‘ich shartni tanlash, bu usullardan va matematik paketlardan samarali foydalanishdan iborat ekan.

ILOVA