Matematika-informatika fakulteti

1.2-§.Tenglamani yechishning geometrik talqini.

Tenglamaning ildizlari har xil bo’lishi mumkin. Geometrik nuqtai nazardan bu x ildiz y = f(x) funksiya grafigining Ox abssissa o’qi bilan kesishish nuqtasini bildiradi. Agar birinchi tartibli hosila bo‘lsa, u holda x – oddiy ildiz, aks holda esa u karrali ildiz deb ataladi.

1.2–rasm. Algebraik tenglama ildizlarining sxematik tasviri.
Agar barcha va uchun bo’lsa u holda m – butun son x ildizning karrasi deb ataladi. 1.2-rasmda va - oddiy, - eng kamida ikki karrali, - eng kamida uch karrali ildiz.
Boshqacharoq qilib aytganda, agar f(x) funksiyani x ildizi atrofida ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda chegaralangan funksiya (g( x )≠0) uchun p – natural son ildizning karrasi deb ataladi. Toq p larda f(x) funksiya [a,b] kesmada ishorasini almashtiradi, ya’ni , juft p larda esa yo‘q.

II BOB. ALGEBRAIK VA TRANSENDENT TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

Umumiy mulohazalar. Har bir boʻlajak mutaxassis, jumladan injener va iqtisodchi ham koʻpincha oʻzining ish faoliyatida, xususan, inshoat qismlarining bikrligini, seysmik mustahkamligini, ustivorligini loyihalashda va hisoblashda, issiqlik va gaz ta’minoti sistemalari hisobida chiziqli boʻlmagan tenglamalar bilan ish koʻrishiga toʻg’ri keladi. Demak, chiziqli boʻlmagan algebraik yoki transendent tenglamalarni yechishni bilish har bir boʻlajak mutaxassis uchun zarurdir.
Bir noma’lumli ixtiyoriy tenglamani umumiy holda quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:
(1)
Biz quyidagi (1) tenglamaning yechish bilan tanishamiz, bunda funksiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb qaraladi.
1-ta’rif. Agar funksiya koʻphaddan iborat boʻlsa, ya’ni
n=0,1,2,3..
bo’lsa,

koʻrinishdagi tenglama algebraik tenglama deyiladi.
2-ta’rif. Agar funksiya elementar funksiyalar (logarifmik, koʻrsatkichli, trigonometrik va hokazo) yoki maxsus funksiyalardan iborat boʻlsa, u holda koʻrinishdagi tenglama transendent tenglama deyiladi.
3-ta’rif. tenglamani ayniyatga aylantiruvchi (ya’ni ) ixtiyoriy x* qiymat tenglamaning ildizi (yechimi) deyiladi.
koʻrinishdagi tenglamani aniq yechimini toppish formulalari faqat qisqa sinf tenglamalari uchun, masalan, kvadrat, bikvadrat, ayrim trigonometric, logarifmik va koʻrsatkichli tenglamalar uchun ma’lum xolos.
Lekin, koʻpincha amaliyotda elementar almashtirishlar yordamida yechish imkoniyati boʻlmagan tenglamalar uchraydiki, ularni sodda amaliyotlar koʻmagida
yechish imkoniyati yoʻq. Ammo, ularni berilgan aniqlikda taqribiy yechish mumkin. Yechimni taqribiy toppish masalasi ikki bosqichga boʻlinadi, ya’ni:

1. 
   tenglamaning yechimi yotgan biror oraliqni ajratish;
   
2. 
   berilgan aniqlikda yechimni toppish.
   

Yechim yotgan oraliqni ajratishda quyidagi teoremalarni bilish muhimdir.
1-teorema. Agar funksiya oraliqda uzluksiz va oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali, ya’ni boʻlsa, u holda oraliqda (1) teglamaning hech boʻlmaganda bitta yechimi mavjud.
2-teorema. Agar ) funksiya oraliqda uzluksiz boʻlib, shart bajarilsa hamda hosila oraliqda oʻz ishorasini oʻzgartirmasa, u holda oraliqda (1) tenglamaning yagona yechimi mavjud.
Yechim yotgan oraliqni ajratishda grafik usuldan ham keng foydalaniladi. Bunda (1) tenglamaning yechimi funksiyaning absissalar oʻqini kesib oʻtuvchi x* qiymat boʻla oladi. Agar funksiya grafigini chizish qiyinchilik tug’dirsa, u holda funksiya koʻrinishda almashtirib, va funksiyalar grafigini chizish lozim. Bu funksiyalar kesishgan nuqtaning absissasi (1) tenglamaning yechimidir.