Matematika-informatika fakulteti

2.1-rasm. Vatarlar usulining blok-sxemasi.



2.2-rasm. Vatarlar usulining geometrik interpretatsiyasi:

Dasturda cheksiz takrorlanishlar kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining qovariq yoki botiqligini (2.2-rasm) va iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga muvofiq.
Shunday qilib, vatarlar usulidan foydalanishda ushbu qoidaga amal qilish maqsadga muvofiq: kesmaning qaysi chetida funksiyaning ishorasi uning ikkinchi tartibli hosilasi ishorasi bilan bir xil bo‘lsa, o‘sha chet qo‘zg‘almas qilib olinadi.
Endi bu metodni misol yechishga tatbiq qilamiz.
1-misol. Ushbu tenglamaning [1;1.5] kesmadagi ildizini 0.002 aniqlik bilan hisoblang.
Yechish. Berilgan tenglama [1;1.5] kesmada yagona x ildizga ega. Usulning formulasiga ko‘ra:
; ;
; ,
demak x[1;1.5] da ; .
Bu yerdan ko‘rinadiki, x[1;1.5] da f '(x) f ''(x) > 0. Shuning uchun

formuladan foydalanib ( ), ketma-ket quyidagilarni topamiz:
; ;
; ;
; ;
; ;
Bu yerdan ko‘rinadiki, ekanligidan taqribiy ildiz sifatida ni qabul qilishimiz mumkin (aniq ildiz x =1.2).

Mazkur ishning eng muhim xulosalari quyidagilar:

1. 
   Ildizlarni ajratish.
   

 ildizlarni ajratish yagona ildiz yotgan oraliqni topish imkonini beradi, bu esa ildizlarni aniqlash usullarining ishlashi uchun imkoniyat yaratib beradi;
 funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalari, ya’ni uzilish nuqtalari uning kritik nuqtalariga kiradi, shuning uchun funksiyaning ildizlarini analitik usulda ajratish mumkin;
 izolyatsiyalangan ildiz yotgan interval topilgandan so‘ng hisoblashlarni kamaytirish maqsadida (masalan, bu intervalning chegaralaridan biri cheksizlikda yotgan bo‘lsa) argumentning ixtiyoriy qiymatini berish orqali bu intervalni qisqartirish mumkin va bunda funksiyaning ishorasini tekshirish lozim; agar shu intervalda yagona ildiz yotganligiga ishonch yo‘q bo‘lsa, bunday qilmagan ma’qul;  ildizlarni analitik usulda ajratishning asosida yotgan kritik nuqtalar bu funksiyaning birinchi hosilasi nolga teng yoki u mavjud bo‘lmagan nuqtalar;
 agar shu intervalda funksiyaning bitta kritik nuqtasi mavjud bo‘lsa, unda bu intervalda shu funksiyaning: ikkita ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksiyaning x va x- dagi ishorasi bir xil va uning kritik nuqtasidagi ishorasiga qarama-qarshi bo‘lsa); bitta ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksiyaning x yoki x- dagi ishorasi uning kritik nuqtasidagi ishorasi bilan mos tushsa); ildizi bo‘lmasligi mumkin (agar funksiyaning yuqorida qayd qilingan barcha nuqtalarida ishoralari bir xil bo‘lsa);
 fuksiyaning kritik nuqtasini topish uchun f '(x) = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish zarurati tug‘ilishi mumkin; bu albatta qiyin, chunki ildizlarni ajratishning bu holi xuddi dastlabki f(x) = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish kabi hol degani. 2. Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli.
 oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining geometrik ma’nosi bu ildiz yotgan oraliqni ketma-ket teng ikki qismga bo‘lib borishdan iborat;
 agar tenglamaning chap tomonidagi chiziqli bo‘lmagan funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli izlanayotgan ildizni berilgan aniqlikdagi xatolik topib beradi, chunki bunday holda masalani yechish jarayoni funksiyaning xossasidan bog‘liq bo‘lmaydi;
 oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining keying qadamidagi kesmaning oxirlaridan biri doimo hisob jarayonidagi kesmaning kesmaning o‘rtasida yotadi, ikkinchisi esa tanlangan nuqtaga nisbatan f(x) funksiya ishorasini almashtirgan kesmaning oxirida yotadi;
 f(x) = 0 tenglamani yechishni kafolatlash uchun f(x) funksiyaning uzluksiz bo‘lishi yetarli;
 f(x) = 0 tenglamaning hech bo‘lmaganda bitta haqiqiy ildizini oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan toppish uchun ildizlarni ajratish qoidasidan foydalanish zarur, aks holda ildizni faqat oraliqni teng ikkiga bo‘lishlar jarayonida f(x) funksiya bo‘laklangan oraliqning chetlarida ishorasini almashtiradigan holdagina toppish mumkin bo‘ladi;
 agar ildiz intervalning chegarasida yotgan bo‘lsa ham bu usul uni topish imkonini beradi.