Matematika kafedrasi Yakupov Qahramon Maxsetbayevichning
Yüklə 1,33 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
Ta’rif – 4. Agar E da elementlarning sanoqli va E ning hamma joyida zich
to’plam mavjud bo’lsa, E ni ceparabel fazo deymiz.
} fundamental ketma-ketlik E da yaqinlashuvchi, yaniy { }, , n=1,2,3… bo’lib
bo’lsa E ni to’la fazo deymiz. Ta’rif – 6. To’la chiziqli normallangan fazoni B tipdagi fazo yoki Banax fazosi deyiladi. Quyida qaraladigan barcha fazolar tola va separabel fazolar bo’ladi. Biz asosan Banax fazolarining hususiy holi bo’lgan Gilbert fazolari bilan ish ko’ramiz.
Ta’rif – 7. H elementarni haqiqiy songa ko’paytirish bilan birgalikda chiziqli sistema bo’lib, uning ihtiyoriy U va V elementlari uchun skalyar ko’paytma deb ataluvchi (U, V) haqiqiy som mos qo’yilib
8
a) (U, V)=(V, U); b)
( V)=(
); c)
( U, V)= (U, V), – haqiqiy son; d) (U, U)
, shuningdek (U, U)=0 faqat nol element uchun, aksyomalar bajarilsa H ni haqiqiy Gilbert fazosi deymiz. Kompleks Gilbert fasosida (U, V) skalyar ko’paytma kompleks son bo’lib, b), - d) aksyomalarni qanoatlantiradi va a) aksyoma o’rniga a’) (U, V)=
aksioma o’rinli bo’ladi. Gilbert fazosida U elementning normasi sifatida son
olinadi.Biz Gilbert fazosi ta’rifidan uning to’liq va separabel fazo bo’lishini ham nazarda tutdik. H Gilbert fazosining ixtiyoriy U va V elementlari uchun Koshi- Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi deb ataluvchi
Tengsizlik o’rinli uni qisqa qilib Koshi tengsizligi deb atayveramiz. Narazda norma bo’yicha (kuchli) yaqinlashishdan tashqari yana kuchsiz yaqinlashishni qaraymiz: agar uchun
bo’lsa { } ketma-ketlikni H da U elementga kuchsiz yaqinlashadi deymiz. Bu holatni ham qisqacha kabi belgilayveramiz. Agar { },
bo’lib { } normalar to’plami tekis chegaralangan bo’lib, ( shartning V larning H ning hamma joyida zich biror to’plamida bajarilishi { } ketma-ketlikning H da U ga kuchsiz manoda ham yaqinlashadi. Tasdiqning teskarisi umuman olganda to’g’ri emas. Biroq { } ning U ga kuchsiz yaqinlashuvchiligidan tashqari bajarilsa, { } U ga kuchli manoda ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Keyinchalik biz quyidagi jumlaga tez-tez murojaat qilamiz.
} U ga H da kuchsiz yaqinlashsa, u holda
Tengsizlik bajariladi va bu tengsizlikning o’ng tomoni chekli bo’ladi. Gilbert fazosi va uning ixtiyoriy fazo osti kuchsiz yaqinlashishi manosida to’la fazodir.
Ta’rif-8. Banax fazosi B da joylashgan M to’plamdan olingan elementlarning ixtiyoriy cheksiz ketma-ketligidan o’zida yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa M ni B da kompakt to’plam deymiz. Agar barcha shunday ketma-ketliklarning limitlari M ga tegishli bo’lsa M ni o’qida kompakt deymiz.
9
H Gilbert fazosida sust kompakt va o’zida sust kompaktlik tushunchasi B fazodagidek kiritiladi. H da kuchsiz kompakt bo’lish belgisi (kriteriysi) quyidagi tearemada o’z aksini topadi:
Teorema-2. H dan olingan harqanday yopiq chegaralangan to’plam o’zida kuchsiz kompaktdir. Haqiqiy B va H fazolariga ikkita misol keltiramiz.
Misol-1. Evklid fazosiga tegishli Ω to’plamda o’lchovli haqiqiy qiymatli va
Chekli integralga ega U(x) funksiyalar to’plamini Ω) orqali belgilaylik. Ω) to’plam (1.1) ko’rinishda kiritilgan norma bilan to’la separabel B (banax) tipdagi fazoni tashkil etadi. Ω) ning elementi haqida gap ketganda yuqoridagi xossalarga ega bitta U(x) funksiyani emas balki Ω da U(x) ga ekvivalent bo’lgan funksiyalar kassini tushunamiz. Shunday bo’lishiga qaramasdan, qisqa qilib
Ω) ning elementlarini Ω da aniqlangan funksiya deb atayveramiz.
Ω) ning hamma joyida zich to’plam sifatida a)
Barcha cheksiz ko’p marta differensiyallanuvchi funksiyalar, barcha ko’phadlar, yoki xatto barcha ratsional koeffisientli ko’phadlar to’plamini; b)
Ω ning chegarasi yaqinida nolga teng bo’lgan barcha cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamini olish mumkin; Yüklə 1,33 Mb. Dostları ilə paylaş:
|